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3. Vektor anhand Beträgen und Zwischenwinkel besti

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Vektorräume

Tags: Vektoralgebra

linibini aktiv_icon

18:35 Uhr, 18.10.2020

Hallo zusammen, mein Abitur liegt nun einige Jahre zurück und ich hänge derzeit über einigen Übungsblättern mit eigentlich relativ simplen Grundlagen. Derzeit komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Der Vektor

\vec{a}

hat die Länge

2,

der Vektor

\vec{b}

hat die Länge

3,

der Zwischenwinkel beträgt 120°. Wie lang ist der Vektor

\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}

?

Nun habe ich über die Formel für den Zwischenwinkel das Skalarprodukt von

\vec{a}

und

\vec{b}

ausgerechnet, weiß aber nicht so recht was ich damit jetzt anfangen soll. Ich dachte auch schon an den Kosinussatz, weiß aber noch nicht wie ich den mit der Beziehung

\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}

vereinen soll damit was sinnvolles dabei herauskommt. Vielleicht hat jemand einen Tipp für mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

18:44 Uhr, 18.10.2020

Da du Koordinatensystem frei wählen kannst, darfst du annehmen, dass

a = (2, 0)

. Dann ist

b = (3 \cos (12 0^{o}), 3 \sin (12 0^{o}))

und

2 a - b

kann direkt berechnet werden.

rundblick aktiv_icon

19:53 Uhr, 18.10.2020

.
"

\vec{a}

hat die Länge

2, \vec{b}

hat die Länge

3,

der Zwischenwinkel beträgt 120°.

.
da die Lage der Vektoren im KS in deinem Beispiel keine Rolle spielt - siehe DrBoogie -
kannst du auch mit irgend einer anderen Wahl die Vektoren festlegenen:
zB:

\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix}) .

. und mit dem 120°-ZwischenWinkel

\Rightarrow \vec{a} = 2 \cdot (\begin{matrix} c o s 120 \\ s i n 120 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ \sqrt{3} \end{matrix})

kannst du nun mit diesen beiden Beispielvektoren den Vektor

\vec{c} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{b}

und dessen Länge

| \vec{c} |

brechnen ?

mach mal

\to ...

.

(und vergleiche mit den Ergebnissen vom Vorschlag DrBoogie

...)

michaL aktiv_icon

20:42 Uhr, 18.10.2020

Hallo,

die Vektoren sind nur Schein!

Betrachte das Dreieck mit den Seiten

2 \vec{a}

\vec{b}

und

\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}

.

In diesem sind dir die Längen

∣ 2 \vec{a} ∣ = 4

und

∣ \vec{b} ∣ = 3

sowie der zwischen ihnen liegende Winkel

γ = 12 0^{\circ}

bekannt.

Das müsste sich doch sogar mit Methoden aus der 9. Klasse (die zweifelsohne noch länger her ist als dein Abitur) berechnen lassen. Stichworte: Kosinussatz und Sinussatz

Mfg Michael

N8eule

21:14 Uhr, 18.10.2020

Wenn ich ergänzen darf:
Wie auch immer, mach eine Skizze, und die Aufgabe wird anschaulich...

Ich wage sogar zu behaupten: Hier ist eine zeichnerische Lösung mindestens so schnell, wie eine rechnerische...

linibini aktiv_icon

21:52 Uhr, 18.10.2020

Wie gesagt, an den Kosinussatz dachte ich ja auch schon. Kann ich denn einfach davon ausgehen dass es sich um ein Dreieck handelt?! In der Aufgabe stand ja nicht in welcher Lage die Vektoren zueinander stehen, deshalb war ich mir nicht sicher ob man trotzdem von einem Dreieck ausgehen darf. Das wäre ja zu einfach :-D)

N8eule

22:36 Uhr, 18.10.2020

Ja, durchaus wahrscheinlich, dass wir aus der Skizze auch ein brauchbares Dreieck ableiten und verständigen können.

Aber

>

ohne Skizze ist es schwer zu sagen, ob wir das gleiche Dreieck im Sinn haben,

>

wer mit der Skizze schwer tut, der wird auch mit dem Aufgabenverständnis schwer tun.

Also

\Rightarrow

wie sieht deine Skizze (dein Dreieck) aus?

Keine Sorge, schwer ist es wirklich nicht :-)

michaL aktiv_icon

22:37 Uhr, 18.10.2020

Hallo,

ich schließe mich da meinem Vorredner an: Hast du schon eine Skizze gemacht?

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

14:11 Uhr, 19.10.2020

.
"stand ja nicht in welcher Lage die Vektoren zueinander stehen"

vielleicht erinnerst du dich ja dunkel:
Vektoren sind ortsunabhängige Geschöpfe :-)

dh. du kannst zB beliebige Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

so aneindersetzen, dass

- beide im gleichen Anfangspunkt A angesetzt sind und bei A einen Winkel von 120° einschliessen..

- du kannst jetzt diesen Vektor

\vec{v}

nehmen und ihn an die Spitze

B

von

\vec{u} = \vec{A B}

ansetzen.

- Wenn du nun einen neuen

\vec{s}

von A zur Spitze

C

des in

B

angesetzten

\vec{v}

einträgst,
dann hast du einen Summenvektor

\vec{s} = \vec{u} + \vec{v} . .

. und siehst eine Dreiecksfigur ABC..

- wenn du jetzt noch zB die Orientierung von

\vec{v}

änderst, dann erhältst du den Vektor

- \vec{v}

- kannst du nun den Differenzvektor

\vec{d} = \vec{u} + (- \vec{v})

selbst einzeichnen?

so - jetzt wähle für deine Aufgabe

\to \vec{u} = 2 \cdot \vec{a}

und

\vec{v} = \vec{b}

und zeichne das Dreieck ABC

\to \vec{d} = \vec{u} + (- \vec{v}) = 2 \cdot \vec{a} - \vec{b}

alles klar?
.

N8eule

22:21 Uhr, 19.10.2020

Schweigen im Walde...

Wo stehst du?
Was hindert dich?
Bist du noch da?

Lass dich von den vielen Worten und Formeln nicht verwirren.
Wir können dir nur helfen, wenn du uns auch ahnen lässt, welche Hilfe du brauchst.
Ich ahne, du bist überfordert, die Skizze zu erstellen.
Falls ja, dann sei so ehrlich und lass es uns wissen. Dann - und nur dann - können wir dir angemessen helfen, ggf. gerne auch mit der Skizze.

Ich wiederhole:
Wer nicht das Grundverständnis mitbringt, eine brauchbare Skizze zu erstellen, dem ist nicht geholfen, Formeln um die Ohren zu schlagen, Kosinussätze zu predigen oder von nebulösen Dreiecken zu schwafeln.

"Das wäre ja zu einfach"
Ja, es ist einfach, mit der Skizze vor Augen.
Also

>

wo ist die Skizze?
oder

>

eine klare Ansage, dass du Hilfe zur Skizze brauchst...

linibini aktiv_icon

09:22 Uhr, 22.10.2020

Hallo, nach der letzten Antwort von rundblick dachte ich ich hätte es verstanden und eine mir ganz plausibel scheinende Lösung erarbeitet. Als wir die Aufgabe heute morgen besprochen haben war des Lösungsansatz der richtige, die Skizze jedoch ganz anders als die, die der Dozent gezeichnet hat. Im Anhang folgen beide Bilder.
Ich bin jetzt auf ein Neues völlig verwirrt, ich dachte der umgedrehte Vektor muss zur Subtraktion an die Spitze des anderen gesetzt werden, meine Lösung war somit die mit dem 60°-Winkel.
Der Dozent hat den Vektor jedoch umgedreht unter einem Winkel von 120° an den Fuß des anderen gesetzt, was für mich keinen Sinn macht, denn so wäre der ursprüngliche Winkel zwischen

\vec{a}

und

\vec{b}

ja nur 60°?! Welche der beiden Skizzen ist jetzt die richtige?

Eine weitere rechnerische Lösung für die Länge von

\vec{c}

wäre

| \vec{c} | = \sqrt{{(2 \vec{a} - \vec{b})}^{2}},

wo ich aber wieder bei der Lösung des Professors

| \vec{c} | = \sqrt{37}

lande...

michaL aktiv_icon

10:18 Uhr, 22.10.2020

Hallo,

eigentlich ist doch die Sache mit der Skizze ganz einfach. Außerdem lässt dein posting erkennen, dss du genau das noch nicht verstanden hast.

Schau dir doch mal die von mir gemachte Skizze (Werte nur ungefähr) an und versuche zu verstehen, warum nur diese infrage kommt.

BTW, mir scheint sinnvoll, wenn du nochmal Vektoraddition und -subtraktion nachschauen würdest, etwa auf www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/Vectors/vektoraddition_subtraktion.htm .

Mfg Michael

HAL9000

10:26 Uhr, 22.10.2020

> Welche der beiden Skizzen ist jetzt die richtige?

Die zweite Skizze ist richtig. Das Problem bei der ersten Skizze ist, dass dort die Pfeilrichtung des Vektors

B C

von dir "falsch herum" eingezeichnet wurde: Tatsächlich ist dort

\vec{B C} = - \vec{C B} = - 2 \vec{a}

und damit

\vec{c} = - 2 \vec{a} - \vec{b}

.

Das erklärt dann auch das Ergebnis, denn

∣ - 2 \vec{a} - \vec{b} ∣ = ∣ 2 \vec{a} + \vec{b} ∣ = \sqrt{13}

ist ja durchaus richtig, nur eben nicht der gesuchte Wert.

EDIT: Ich muss mich korrigieren - auch die zweite Skizze enthält fragwürdige Vektorbeschriftungen. Nur scheinen sich dort die Fehler derart zu kompensieren, dass mit viel Glück dann doch das richtige rauskommt. Also besser mal an die Skizze von MichaL halten.

-----------------------------------------------------------------------

Man kann übrigens auch ohne viel Skizzenkram so vorgehen: Mit Hilfsrechnung

\vec{a} \cdot \vec{b} = ∣ \vec{a} ∣ \cdot ∣ \vec{b} ∣ \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 2 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2}) = - 3

folgt per Binomischer Formel

{∣ 2 \vec{a} - \vec{b} ∣}^{2} = {(2 \vec{a} - \vec{b})}^{2} = 4 {∣ \vec{a} ∣}^{2} - 4 \vec{a} \cdot \vec{b} + {∣ \vec{b} ∣}^{2} = 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot (- 3) + 3^{2} = 37

.

Das soll jetzt nicht gegen die Nutzung der Geometrischen Anschauung sprechen, aber für Leute die mit dem Richtungssinn der Vektoren so ihre Probleme haben, ist dieser Weg womöglich weniger fehleranfällig. ;-)

rundblick aktiv_icon

15:02 Uhr, 22.10.2020

.
@ linibini :

"Hallo, nach der letzten Antwort von rundblick dachte ich ich hätte es verstanden "

lesen sollte frau halt schon können:
In meinem Beitrag

\to 14 : 11

Uhr,

19.10.2020

habe ich dir notiert:

\to

und zeichne das Dreieck ABC

: \vec{d} = 2 \cdot \vec{a} - \vec{b}

also: du sollst an die Spitze des Vektors

2 \cdot \vec{a}

den Vektor MINUS

\vec{b}

ansetzen
und was machst du?

\to

du setzt an die Spitze des Vektors

2 \cdot \vec{a}

den Vektor

\vec{b}

an
.. siehe

d e i n

Bild

\to 09 : 22

Uhr,

22.10.2020

- und wunderst dich dann auch noch, dass das die falsche Figur ergibt..

bin enttäuscht..
.

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