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Additionsregel Übungsaufgabe

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: additionsregel, Wahrscheinlichkeitstheorie

ElrondMcBong aktiv_icon

20:08 Uhr, 05.05.2024

Moin zusammen,

ich hätte eine Frage zur Stochastik, genauer dem Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten.
Es geht um folgende Aufgabe:
„In einem gut gemischten Skatspiel werden nacheinander ohne zurücklegen zufällig zwei Karten gezogen. Es geht grundsätzlich um die Ereignisse, eine Bildkarte zu ziehen (Ereignis

B),

ein As zu ziehen (Ereignis

A)

oder eine Karte mit einer Zahl (Ereignis

S)

zu ziehen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, mit beiden Karten genau eine Bildkarte zu ziehen.

Ich habe die Wahrscheinlichkeiten aller Möglichkeiten in beiden Zügen nur eine Bildkarte zu ziehen wie folgt berechnet:

P (B \cap A) = P (B) \cdot P (A | B) = \frac{12}{32} \cdot \frac{4}{31} = \frac{3}{62}

P (B \cap S) = P (B) \cdot P (S | B) = \frac{12}{32} \cdot \frac{16}{31} = \frac{6}{31}

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B | A) = \frac{4}{32} \cdot \frac{12}{31} = \frac{3}{62}

P (S \cap B) = P (S) \cdot P (B | S) = \frac{16}{32} \cdot \frac{12}{31} = \frac{6}{31}

Weiter bin ich leider nicht gekommen, also in die Lösung geschaut und dort steht, dass die Wahrscheinlichkeit genau eine Bildkarte zu ziehen nach dem Additionssatz die Summe der vier oben errechneten Wahrscheinlichkeiten ist.
Mir leuchtet nicht so ganz ein, wieso und wie dort der Additionssatz Anwendung findet.
Kann mir jemand weiterhelfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

einfallslos2 aktiv_icon

07:38 Uhr, 06.05.2024

Dadurch, dass 2 zufällige Karten gezogen werden, kann alles Mögliche passieren. Sie haben alle 4 Möglichkeiten aufgelistet, bei welchen das gewünsche Ergebnis aufgetreten ist, also dass nur 1 Bildkarte gezogen wurde. Alle anderen Möglichkeiten, bei welchen das gewünschte Ergebnis nicht aufgetreten ist, haben Sie nicht aufgelistet. Diese anderen Möglichkeiten gibt es aber trotzdem.

Wie das Ergebnis erreicht wird, spielt keine Rolle. Also beispielsweise spielt es keine Rolle, ob die Bildkarte beim ersten oder beim 2. Zug gezogen wird.

Die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Bildkarte gezogen wird, ist die Summe aller Möglichkeiten, welche zum gewünschten Ergebnis führen, geteilt durch durch die Summe aller Möglichkeiten, welche auftreten können.

Das erste Problem, welches ich sehe, ist, dass Sie einen komplizierten Lösungsweg haben.

Als erste Möglichkeit, welche zum Ziel führt, hätte ich die Möglichkeit genannt, in welcher beim ersten Zug eine Bildkarte gezogen wird und beim 2. Zug eine andere Karte:
Anzahl der Bildkarten/Gesamtzahl der Karten

\cdot

Anzahl der Nicht-Bildkarten/Anzahl der restliche Karten

= \frac{12}{32} \cdot \frac{20}{31} = \frac{15}{62}

Als zweite Möglichkeit, welche zum Ziel führt, hätte ich die Möglichkeit genannt, in welcher beim ersten Zug eine Nicht-Bildkarte gezogen wird und beim 2. Zug eine Bildkarte:
Anzahl der Nicht-Bildkarten/Gesamtzahl der Karten

\cdot

Anzahl der Bildkarten/Anzahl der restlichen Karten

= \frac{20}{32} \cdot \frac{12}{31} = \frac{15}{62}

Angenommen es wäre noch einfacher: Sie hätten ein Szenario bei welchen

10

Möglichkeiten auftreten können und jede Möglichkeit führt zum gewünschten Ziel. Dann muss die Gesamtwahrscheinlichkeit

100 %

betragen. Wenn nun jede von den

10

Möglichkeiten gleich häufig auftritt, also zu einer Wahrscheinlichkeit von

10 %,

dann können Sie nicht nur eine beliebige Möglichkeit herauspicken und behaupten, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit

10 %

betragen würde. Sondern Sie müssen

10 % + 10 % + 10 % + 10 % . .

= 100 %

rechnen. Also alle Möglichkeiten welche zum Ziel führen

(10

Stück) geteilt durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten

(10

Stück)

= \frac{10}{10} = 100 %

.

Was nun Ihr Skatproblem anbelangt: Dort gibt es ja nicht nur 4 Möglichkeiten bzw. 2 Möglichkeiten, wie von mir aufgelistet. Die Möglichkeit, dass zuerst eine Bildkarte gezogen wird und im 2. Zug eine Nicht-Bildkarte ist ja eine ganze Gruppe an Möglichkeiten. Es hätte ja zuerst ein Kreuz-König gezogen werden können. Oder zuerst eine Herz-Dame. Diese Gruppe wurde in der Form von einer Wahrscheinlichkeit ausgedrückt. Aber Sie hätten auch alle

12

Bildkarten einzeln nennen können. Dann hätten wir anstatt der ersten Gruppe an Möglichkeiten eben:

\frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Kreuz-König)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Kreuz-Dame)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Kreuz-Bube)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Karo-König)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Karo-Dame)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Karo-Bube)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

(erste Karte ist Herz-König)

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

+ \frac{1}{32} \cdot \frac{20}{31}

Und auch die Nicht-Bildkarten hätte man alle einzeln nennen können. So hätten wir

12 \cdot 20 = 240

Möglichkeiten, welche zum gewünschten Ziel führen, in der ersten von beiden Möglichkeitsgruppen. Und wir hätten

32 \cdot 31 = 992

Gesamtmöglichkeiten in der ersten Möglichkeitsgruppe. Daher lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass eine Möglichkeit aus der ersten Möglichkeitsgruppe eintrifft mit

\frac{240}{922}

bzw.

\frac{15}{62}

ausdrücken.

HAL9000

11:17 Uhr, 06.05.2024

@ElrondMcBong

Für bestimmte Fragestellungen ist es ggfs. sinnvoll, geeignet zu abstrahieren. Z.B. spielt es für deine Fragestellung überhaupt keine Rolle, ob die eine Nicht-Bildkarte nun ein As oder eine Zahlkarte ist. Insofern können wir diese beiden Fälle via

B^{c} = A \cup S

zusammenfassend betrachten. Was aber wichtig ist - und was du in deiner Ereignissymbolik leider sträflich vernachlässigt hast - ist die Kennzeichnung, in welchem Versuch die Karte jeweils gezogen wird. Es geht somit um

P (B_{1} \cap B_{2}^{c}) = \frac{12}{32} \cdot \frac{20}{31} = \frac{15}{62}

sowie

P (B_{1}^{c} \cap B_{2}) = \frac{20}{32} \cdot \frac{12}{31} = \frac{15}{62}

,

was in der Summe Wahrscheinlichkeit

\frac{15}{31}

ergibt.

calc007

11:25 Uhr, 06.05.2024

Wer unsicher ist, kann sich auch mit einem Ereignisbaum sehr anschaulich Verständnis suchen und finden.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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