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Allgemeine Sinusfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Sinusfunktion

anonymous

18:37 Uhr, 17.03.2012

Hi Leute,
ich habe mal eine kurze Frage:

Ich habe zwei Varianten für die allgemeine Sinusfunktion:

f (x) = a \cdot sin (b \cdot x + c) + d

f (x) = a \cdot sin (b (x + c)) + d

Ausgeklammert ergiebt die untere Funktion aber nicht die obere. Wieso sind denn beides Möglichkeiten, eine allgemeine Sinusfunktion darzustellen?

Lieben Gruß,

Thomas

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Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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Sinus- und Kosinusfunktion

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anonymous

20:12 Uhr, 17.03.2012

f (x) = a \cdot sin (b \cdot x + c_{1}) + d = a \cdot sin (b \cdot (x + \frac{c_{1}}{b})) + d

f (x) = a \cdot sin (b \cdot (x + c_{2})) + d = a \cdot sin (b \cdot x + b \cdot c_{2}) + d

Wie du evtl. siehst gilt:

c_{1} = b \cdot c_{2}

bzw.

c_{2} = \frac{c_{1}}{b}

Ansonsten unterscheiden sich die Funktionen nicht besonders.

Und da sich allgemeine Sinusfunktion, welche sich in eine der beiden Formen befinden, recht einfach in die jeweils andere Form überführen lassen, können auch beide benutzt werden, um eine allgemeine Sinusfunktion zu beschreiben.

Der Unterschied ist nur folgender:
Die Bedeutung von

c

unterscheidet sich in den beiden Formen.

c_{1}

ist die Phasenverschiebung von

f (x)

zur Funktion mit der Gleichung

y = a \cdot sin (b x) + d

c_{1}

ist daher eine Phasendifferenz/Winkeldifferenz.

c_{2}

gibt hingegen an, um wieviel die Funktion

f (x)

entgegen der x-Richtung zur Funktion

y = a \cdot sin (b x) + d

verschoben ist.

c_{2}

gibt also eine Differenz von x-Werten an.

anonymous

21:12 Uhr, 17.03.2012

Okay, also sind die beiden c-Werte nicht komplett identisch. Aber ja, den Zusammenhang von

c_{1}

und

c_{2}

sehe ich.

Was mir aber trotzdem noch nicht klargeworden ist, ist der Unterschied.

Man sagt ja auch:

sin (x + \frac{π}{2}) = cos (x)

Die

\frac{π}{2}

würden hier ja

c_{1}

darstellen. Also die Funktion

sin (x)

wird um

\frac{π}{2}

(=90°) nach links entlang der x-Achse verschoben. Aber die x-Wertedifferenz beträgt dann doch auch

\frac{π}{2},

oder nicht?

anonymous

23:57 Uhr, 17.03.2012

Das ist richtig. In diesem Fall ist

b = 1,

daher gilt

c_{1} = c_{2}

. Somit tritt der Spezialfall ein, dass die Phasenverschiebung gleich der Verschiebung entgegen der x-Richtung ist.

sin (1 \cdot (x + \frac{π}{2})) = sin (1 \cdot x + \frac{π}{2})

Aber das ist eben nur ein Spezialfall für

b = 1

. Im Allgemeinen sind

c_{1}

und

c_{2}

nicht gleich groß, wie du bereits festgestellt hast.

Ein anderes Beispiel ist:

f (x) = sin (2 x + \frac{π}{2}) = cos (2 x)

Diese Funktion besitzt gegenüber

g (x) = sin (2 x)

eine Phasenverschiebung von

\frac{π}{2}

bzw.

90^{\circ}

.

Wenn man nun allerdings die Graphen von

f

und

g

in ein Koordinatensystem einzeichnet, wird man feststellen, dass der Graph von

g

gegenüber dem Graphen von

f

nur um

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

in x-Richtung verschoben ist.

Das liegt daran, dass eine Verschiebung um

Δ x

(unser

c_{2})

aufgrund der von 1 verschiedenen Kreisfrequenz (unser

b)

eine andere Phasenverschiebung

Δ φ = b \cdot Δ x

(unser

c_{1})

zur Folge hat.

sin (2 x + \frac{π}{2}) = sin (2 (x + \frac{π}{4}))

Edit: Ich habe nun auch noch eine Zeichnung angefügt, welche dir den Unterschied zeigen soll.

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