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Arithmetisches/Geometrisches/Harmonisches Mittel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Analysis, Artithmetisch, Beweis, Geometrisch, harmonisch, Komplex, Mittel

 
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--Olga

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13:37 Uhr, 30.10.2011

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Hallo!
Ich habe Probleme bei folgender Aufgabe:

Für positive reelle Zahlen x1,x2,...,xn>0 seien

A(x1,x2,...,xn):=12⋅(x1+x2+...+xn)

G(x1,x2,...,xn):=x1⋅x2⋅...⋅xnn

H(x1,x2,...,xn):=1A(1x1,...,1xn)=n1x1+...+xn

das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel von x1,...xn.

(a) Zeigen Sie: Falls 0<x1≤x2≤...≤xn gilt, so ist
x1≤H(x1,x2,...,xn)≤G(x1,x2,...,xn)≤A(x1,x2,...,xn)≤xn

(b) Wann gilt H(x1,x2,...,xn)=G(x1,x2,...,xn)?

(c) Es seien x,y>0 positive reelle Zahlen. Zeigen Sie
G(A(x,y),H(x,y))=G(x,y).


Ich bräuchte hierfür einfach mal einen Ansatz. Vllt komme ich dann auch wieder alleine weiter! Auf diesen komme ich einfach nicht. Habe es schon mittels vollständiger Induktion versucht, aber da bin ich auch gescheitert...
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

16:06 Uhr, 01.11.2011

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Zunächst einmal muss es bei A(...) wohl 1n statt 12 heißen.

Wie man die Ungleichung allgemein zeigt, kommt ein wenig darauf an, welche Mittel zur Verfügung stehen (sagen Dir konvexe Funktion oder Jensensche Ungleichung etwas?).

Schlimmstenfalls geht es mit vollständiger Induktion, wobei der Anfang (n=2) wie folgt abläuft:

G(x,y)≤A(x,y)
⇔xy≤x+y2
⇔2xy≤x+y
⇔4xy≤(x+y)2=x2+2xy+y2
⇔0≤x2-2xy+y2=(x-y)2
und letzteres stimmt, da Quadrate stets ≥0 sind. (Test: An welcher Stelle wurde x,y>0 verwendet?)
Sowie
H(x,y)≤G(x,y)
⇔2xyx+y≤xy
⇔x+y2xy≥1xy
⇔x+y2>0xyxy=xy
⇔A(x,y)≥G(x,y), was schon oben gezeigt wurde

Schließlich noch
x≤H(x,y)
⇔x≤2xyx+y
⇔x2+xy≤2xy
⇔x2-xy≤0
⇔x⋅(x-y)≤0
⇔x≤y (unter der Voraussetzung x>0)
sowie
A(x,y)≤y
⇔x+y2≤y
⇔x+y≤2y
⇔x≤y

Per Induktion erledigt man sehr leicht alle Fälle, bei denen n eine Zweierpotenz ist und muss für den Rest noch ein wenig tricksen ...
Genaueres uner de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel
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