Asymptote, Grenzwerte von Funktionen, Folgen

Was bedeutet Asymptote??

[Zusammenhang mit dem unten angefügten Bild!!!!]

Hi,

eine Asymptote ist eine Funktion (wenn man die senkrechten Asymptoten = Polgeraden mal ausklammert), an die sich der Graph einer anderen Funktion immer weiter anschmiegt, z.B. wie unten im Bild, schmiegt sich die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+2}$ (schwarz) der Funktion ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$ (rot) immer näher an.

Der Unterschied beider Funktionen${\displaystyle \left(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$ geht mit wachsendem x (sowohl positiv als auch negativ) gegen 0.

Der blaue Graph ist eine Polgerade, eine senkrechte Asymptote, an die sich die Funktion f(x) ebenfalls anschmiegt.

Gruß

pantau

Heißt das also, dass die Asymptote der Grenzwert ist??

und: WANN ist der Grenzwert eine Asymptote?? immer??

Wenn x gegen ${\displaystyle \pm \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ strebt und sich die Funktion an eine (waagerechte) Asymptote anschmiegt, dann ist die Asymptote gleich dem Grenzwert.

pantau

Mhhm hast du dazu vielleicht noch ein konkretes Beispiel?

Als Beispiel mal das Bild oben:

die Funktion lautet: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+2}$

der Grenzwert der Funktion für x gegen +/- Unendlich lautet:

${\displaystyle \underset{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\to \pm \mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{lim<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{1}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-2}+2)=2}$

Die Asymptote hat die Gleichung: ${\displaystyle \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2}$

pantau

okay danke =)