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Funktionen

Tags: Funktion

ahmedhos aktiv_icon

14:20 Uhr, 04.04.2010

Was sind die Bedingungen für waagrechte und senkrechte Asymptoten?
Danke für die Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

14:25 Uhr, 04.04.2010

Eine Asymptote einer Funktion ist eine Gerade, der sich eine Funktion

(i n

einem Grenzprozess) beliebig nah annähert aber dennoch nie berührt. Waagrechte Asymptote muss halt die Steigung 0 haben und senkrechte Asymptote die Steigung

\infty,

also parallel zur y-Achse bzw. die y-Achse sein.

http//de.wikipedia.org/wiki/Asymptote

ahmedhos aktiv_icon

14:27 Uhr, 04.04.2010

Und kann man auch die Gleichung der Asymptote "Wie die Gleichung der Tangente" bestimmen?

advokata aktiv_icon

14:29 Uhr, 04.04.2010

vertikale Asymptote: kommt meistens bei Stellen, an denen eine Funktion nicht definiert ist. Beispielsweise:

D_{f =} ℝ / {1; 6}, d . h

. an den Stellen

x = 1

und

x = 6

(x=irgendetwas als Funktion, ist parallel zur y-Achse) gibt es eine vertikale Asymptote

horizontale Asymptote: hierfür musst du den Grenzwert der Funktion für

\pm \infty

nehmen und wenn die Funktion dabei einen festen Wert annimmt, dann ist dieser Wert die horizontale Asymptote. Bsp:

lim_{x \to \infty} f (x) = a,

wobei a ein fester Wert ist, dann ist die horizontale Asymptote

y = a

Shipwater aktiv_icon

14:30 Uhr, 04.04.2010

Naja, angenommen wir haben die Funktion

f (x) = 4 + \frac{1}{x}

Der Definitionsbereich ist

D = ℝ

{

0}

Bei

x = 0

haben wir also eine Definitionslücke. Deshalb ist

x = 0

(die y-Achse) senkrechte Asymptote der Funktion

f (x)

Und im Unendlichen nähert sich

\frac{1}{x}

immer mehr der Null, weswegen dann quasi nur die 4 übrig bleibt. Anders geschrieben:

lim_{| x | \to \infty} (4 + \frac{1}{x}) = 4

Deshalb ist

y = 4

waagrechte Asymptote der Funktion.

Shipwater

ahmedhos aktiv_icon

14:32 Uhr, 04.04.2010

| x | \to \infty \Leftrightarrow x \to \pm \infty

?
Danke. Jetzt íst es klar.

Shipwater aktiv_icon

14:42 Uhr, 04.04.2010

Genau. Was aber noch erwähnenswert ist:
Definitionslücke heißt nicht gleich senkrechte Asymptote. Wenn sich diese Definitionslücke wegkürzen lässt, dann handelt es sich nur um eine (hebbare) Lücke und um keinen Pol, also gibt es da auch keine senkrechte Asymptote.
Beispiel:

f (x) = 4 + \frac{x^{2}}{x}

Definitionsbereich ist wieder

D = ℝ

{

0}

Aber ich kann sagen:

f (x) = 4 + x

für

x \neq 0

und für

x = 0

nicht definiert. Deshalb wird das Schaubild wie das von

f (x) = 4 + x

aussehen, nur dass der Punkt

P (0 | 4)

fehlt, dort also eine Lücke ist. Deshalb gibt es dort auch keine senkrechte Asymptote.

ahmedhos aktiv_icon

14:51 Uhr, 04.04.2010

Alles klar.

Alx123 aktiv_icon

14:54 Uhr, 04.04.2010

Hallo,

habe mir gerade die Seite bei Wikipedia angeschaut, dort steht das eine Funktion sich nur in x-Richtung oder in y-Richtung asymptotisch verhalten kann, das stimmt doch nur wenn die Funktion eine echt-gebrochenrationale Funktion ist. Wenn die Funktion unecht-gebrochenrational ist kann die Asymptote auch eine andere Steigung haben ( siehe Bild ).

Shipwater aktiv_icon

15:00 Uhr, 04.04.2010

Hallo Alx123,

ja da stimme ich dir zu. Es handelt sich dann um eine schiefe bzw. schräge Asymptote.
Das findet sich bei Wikipedia aber auch:

Ist

p : R \to R

eine Gerade, der sich

f

beim Grenzübergang nach

+ \infty

oder

- \infty

beliebig annähert,

d

h

. gilt

lim_{x \to \infty} [f (x) - p (x)] = 0

oder

lim_{x \to - \infty} [f (x) - p (x)] = 0,

dann nennt man

p

eine schräge Asymptote von

f

.

@ ahmedhos

Genau so hab ich das gemeint.

Alx123 aktiv_icon

15:14 Uhr, 04.04.2010

Jaja, auf Wikipedia kann man sich in dieser Hinsicht auch nicht immer verlassen, mir sind dort schon paarmal Fehler aufgefallen.

@ahmed

Um die Gleichung der Asymptote einer unecht-gebrochenrationalen Funktion zubestimmen, musst du die Polynomdivision solange benutzen bis die Funktion echt-gebrochenrational ist, dabei entsteht auch noch ein linearer Teil, das ist die Gleichung der Asymptote.

Jetzt frage ich mich selbst ob es auch Funktionen gibt die keine Polynome sind und

sich trotzdem asymptotisch verhalten.

edit:

Ah tatsächlich

Shipwater aktiv_icon

15:16 Uhr, 04.04.2010

Klar,

f (x) = e^{x}

hat die x-Achse als Asymptote falls du etwas in diese Richtung meinst?

Alx123 aktiv_icon

15:21 Uhr, 04.04.2010

Ja stimmt, ich meinte aber wieder eine schräge Aymptote, weil ich mich gefragt habe ob man bei so einen Fall die Gleichung der Asymptote auch exakt bestimmen kann.

Shipwater aktiv_icon

15:26 Uhr, 04.04.2010

Achso, meinst du sowas wie

f (x) = e^{x} + x

was dann

y = x

als schräge Asymptote hat?

Alx123 aktiv_icon

15:33 Uhr, 04.04.2010

Ja, sowas in der Art,

f (x) = e^{x} + x

hat aber keine Asymptote, da

e^{x}

schneller wächst als jedes

x^{n}

. Mir fällt jetzt aber auch kein Beispiel ein.

Shipwater aktiv_icon

15:37 Uhr, 04.04.2010

lim_{x \to - \infty} (e^{x} + x) = x

Also ist

y = x

schräge Asymptote, würde ich jetzt behaupten.

Alx123 aktiv_icon

15:49 Uhr, 04.04.2010

Ja, aber das ist doch nur für

- \infty

muss die Funktion sich nicht auf beiden Seiten an die gleiche Asymptote annähern, erst dann spricht man eben von einer Asymptote oder war das anders? Die Funktion darf die Asymptote auch nicht schneiden soweit ich mich erinnern kann. ( Tut sie bei deinem Beispiel auch nicht, ist mir nur jetzt eingefallen.)

Shipwater aktiv_icon

15:53 Uhr, 04.04.2010

Hmm meiner Meinung nach spricht man da auch von Asymptote, denn

f (x) = e^{x}

nähert sich der x-Achse doch auch nur für

- \infty

an und man spricht trotzdem von der x-Achse als waagrechte Asymptote.

Alx123 aktiv_icon

16:09 Uhr, 04.04.2010

Ah, man sagt ja auch wahrscheinlich das

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

sich für

+ \infty

asymptotisch der y-Achse annährt. Aber was ist mit Funktionen bei den der transzendente Teil (hier

e^{x}

) nicht verschwindet oder bei Funktionen die überhaupt kein Polynom beinhalten? Das war eigentlich mein Gedanke, da weiss ich garnicht ob das möglich ist.

Shipwater aktiv_icon

16:19 Uhr, 04.04.2010

Meinst du ob man bei

f (x) = e^{x} + \frac{1}{x}

sagt

e^{x}

ist Asymptote der Funktion?

StarQ7 aktiv_icon

16:22 Uhr, 04.04.2010

Bei mir steht im Heft bei schiefen Asymptoten

z . B

e^{0,5 x} - x - 2 ... ... .

e^{0,5 x}

läuft gegen null für

x \to -

unendlich

- \to

Schiefe Asymptote

y = - x - 2

Shipwater aktiv_icon

16:27 Uhr, 04.04.2010

Ja das ist ja das gleiche wie bei

f (x) = e^{x} + x

Alx123 aktiv_icon

16:38 Uhr, 04.04.2010

Nein das meine ich nicht.
Sind Asymptoten nicht nur lineare Funktionen? Bei deinem jetzigen Beispiel ist auch die x-Achse nähr an der Funktion dran als

e^{x}

, ausserdem ist

\frac{1}{x}

wieder eine Polynomfunktion.

Ich habe mir einfach die Frage gestellt:
Gibt es rein-transzendente Funktionen die sich asymptotisch verhalten ( schräge Asymptote ) und kann man bei diesen Funktionen die Gleichung der Asymptote exakt bestimmen, wobei die Asymptote eine lineare Funktion sein soll.

edit:

Ich habe das Plus nicht gesehen (

f (x) = \frac{1}{x}

)

arrow30

16:43 Uhr, 04.04.2010

hmm

f (x) = x + \frac{1}{x}

ist ein Beispiel

. .

. siehe Bild

Shipwater aktiv_icon

16:48 Uhr, 04.04.2010

Sind Asymptoten nicht nur lineare Funktionen?

Aus Wikipedia: "Man kann aber auch beliebige andere Klassen von Funktionen zu schrägen Asymptoten erklären, sofern sie die Limes-Bedingung erfüllen. Je nach Verwendungszweck ist die eine oder andere Definition angemessener."
Das ist wohl noch nicht richtig geklärt, also mein Lehrer macht es so, dass er nicht lineare Funktionen mit "asymptotischen Verhalten" Näherungsfunktionen nennt.

Alx123 aktiv_icon

16:53 Uhr, 04.04.2010

Ah okay, und was ist mit Funktionen die kein Polynom enthalten? Auch wieder schräge Asymptote, also kein