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Startseite » Forum » Aus Konkavitätät, f(0)=0 und f(x)>0 folgt Isotonie
Aus Konkavitätät, f(0)=0 und f(x)>0 folgt Isotonie
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Funktionen
Tags: Differentiation, Funktion
 
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Hallo, hat jemand einen Tipp oder Lösungsvorschlag zu der folgenden Aufgabe? Sei —> (positive reelle Zahlen auf positive reelle Zahlen mit konkav mit und für . Zeige ist monoton wachsend. Danke schonmal im Voraus! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Beweis indirekt: Wenn nicht monoton wachsend ist, muss es mit geben. Davon ausgehend kann man mit Hilfe der Konkavität ein konstruieren mit , was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. |
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Danke für den Hinweis. Ich dachte mir ich fange mit an und versuche die Null anders zu schreiben, um die konkavität zu verwenden, allerdings komme ich da nicht weiter. Wenn man annimmt, dass es und gibt mit muss das ja auch eine Rolle spielen, also sollte das was schließlich auf angewandt ergeben soll auch in einer Art von oder abhängen oder? Wie konstruiere ich nun aber das ? |
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Danke für den Hinweis. Ich dachte mir ich fange mit an und versuche die Null anders zu schreiben, um die konkavität zu verwenden, allerdings komme ich da nicht weiter. Wenn man annimmt, dass es und gibt mit muss das ja auch eine Rolle spielen, also sollte das was schließlich auf angewandt ergeben soll auch in einer Art von oder abhängen oder? Wie konstruiere ich nun aber das ? |
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Nehmen wir die aus der Annahme, dann gilt für alle gemäß Konkavitätsungleichung für alle , speziell auch für , das bedeutet dann eingesetzt und umgeformt D.h., es gilt mit sowie , und der obigen Annahme wegen ist der Geradenanstieg negativ. Wählen wir nun einfach , dann folgt , Widerspruch. P.S.: Voraussetzung wird für den Beweis nicht benötigt. |
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Danke dir vielmals! |
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