Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Berechnen einer allgemeinen Lösung des LGS

Berechnen einer allgemeinen Lösung des LGS

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

Nicole1989 aktiv_icon

22:02 Uhr, 14.05.2012

Hey Leute, habe jetz schon mehr mals mit dem Gauß versucht folgende Aufgabe zu lösen :

2 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3

x 2 - x 3 - x 4 - 2 x 5 = 3

x 1 + x 3 + 2 x 5 = - 1

Die Aufgabe dazu lautet :

Berechnen Sie die allgemeine Lösung für das lineare Gleichungssystem.

Ich habe jetz schon mehrmals das versucht über Matrix zu berechnen aber das klappt alles nicht

\frac{=}{}

Vielleich jmd einen Tipp ?

CKims aktiv_icon

22:12 Uhr, 14.05.2012

soll es in der ersten zeile

2 x_{1} + x_{2} + x_{3} x_{2} x_{4} = 3

lauten?? dann ist das aber kein lineares gleichungssystem sondern ein nicht lineares...

Nicole1989 aktiv_icon

22:23 Uhr, 14.05.2012

Habe es nun korriegiert ;-)

CKims aktiv_icon

22:24 Uhr, 14.05.2012

sicher dass zweimal

x_{2}

in der ersten zeile vorkommt?? nur um sicher zu gehen...

Nicole1989 aktiv_icon

22:31 Uhr, 14.05.2012

Verbessert

2.0

CKims aktiv_icon

22:41 Uhr, 14.05.2012

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

2*dritte zeile minus erste zeile

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & - 1 & 1 & - 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 5 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

dritte zeile plus zweite zeile

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & - 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

fertig

Nicole1989 aktiv_icon

22:58 Uhr, 14.05.2012

das ist das tatsächliche ergebnis ? mehr nicht ?

Cool dankeschön :-) nett von dir

CKims aktiv_icon

22:59 Uhr, 14.05.2012

naja, man koennte noch den loesungsvektor aufschreiben... also die loesung aus der matrix ablesen...

Nicole1989 aktiv_icon

23:27 Uhr, 14.05.2012

Wie kann man die denn ablesen ?

Vektorgeometrie aktiv_icon

12:34 Uhr, 15.05.2012

ich würde sagen:

2 x 1 + x 2 - 2 x 3 = 0

x 4

und

x 5

sind ja null, also ist in der 3ten Zeile

x 3

gleich

- 2

. dann

x 3, x 4

und

x 5

in die zweite zeile einstetzen für

x 2

. zum schluss nochmal

x 2

bis

x 5

in die erste zeile für

x 1

Paulus

13:38 Uhr, 15.05.2012

Hallo Nicole

selbstverständlich ist das noch lange nicht alles.

Es ist ja nach der "Allgemeinen Lösung" gefragt.

Dazu bringst du das Ganze am besten auf eine Art Diagonalform: Die letzte Umformung von MokLok war ja etwa dieses:

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & - 1 & - 1 & - 2 & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & | & 1 \end{matrix})

Nun mit Hilfe der 3. Zeile die 4. Spalte bei den anderen Zeilen auf 0 bringen.
Also 1. Zeile ersetzen mit 1. Zeile

- 3

. Zeile
und 2. Zeile ersetzen mit 2. Zeile

+ 3

. Zeile

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & - 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & | & 1 \end{matrix})

Nun mit Hilfe der 2. Zeile die 2. Spalte bei den anderen Zeilen auf 0 bringen.
Also 1. Zeile ersetzen mit 1. Zeile

- 2

. Zeile

(\begin{matrix} 2 & 0 & 2 & 0 & 4 & | & - 2 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & - 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & | & 1 \end{matrix})

Und der besseren Übersicht wegen die erste Zeile durch 2 dividieren

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & | & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 & - 3 & | & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - 1 & | & 1 \end{matrix})

Nun siehst du in der 1. Zeile eine Stufe in der ersten Spalte, entsprechend

x_{1},

in der 2. Zeile eine Stufe in der zweiten Spalte, entsprechend

x_{2}

und
in der 3. Zeile eine Stufe in der vierten Spalte, entsprechend

x_{4}

x_{1}, x_{2}

und

x_{4}

werden also mal als Unbekannte stehen gelassen, die anderen

(x_{3}

und

x_{5})

werden als Parameter betrachtet,

z . B

x_{3} = α

und

x_{5} = β

.

Damit wird das Gleichungssystem zu diesem:

x_{1} + α + 2 β = - 1

x_{2} - α - 3 β = 4

x_{4} - β = 1

Was sofort zur allgemeinen Lösung führt:

x_{1} = - 1 - α - 2 β

x_{2} = 4 + α + 3 β

x_{3} = α

x_{4} = 1 + β

x_{5} = β

Üblicherweise schreibt man das dann so:

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + α \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + β \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Alles klar?

Gruss

Paul

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1002904

1002785

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?