Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Beweis durch vollständiger induktion

Beweis durch vollständiger induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Vollständig Induktion

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Sspss

Sspss aktiv_icon

12:22 Uhr, 28.04.2024

Antworten
Es sei 0<x<1. Zeigen Sie für alle n∈ℕ,n≥1:(1-x)n≤11+n⋅x

IA:n=1 :(1-x)≤11+x

für x=1:1-1≤11+1

0≤12

für x=0:1≤1

IV: Für alle B∈ℕ,n≥1 gilt (1-x)n≤11+n⋅x

IB: Dann gilt auch (1-x)n+1≤11+(n+1)⋅x

IS: (1-x)n≤11+n⋅x

(1-x)n⋅(1-x)≤11+n⋅x⋅(1-x)

(1-x)n+1≤1-x1+n⋅x

Ab hier weiß ich nicht, wie ich auf der rechten Seite umformen muss, um auf das Ergebnis zu kommen. Danke im Voraus für Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Respon

Respon

13:02 Uhr, 28.04.2024

Antworten
z.B. so ( Du kennst ja das Ergebnis. )

Es sollte also gelten:
1-x1+n⋅x≤11+n⋅x+x
Indirekter Beweis:
Angenommen, es gibt ein x, sodass gilt
1-x1+n⋅x>11+n⋅x+x
⇒
1+n⋅x+x-x-n⋅x2-x2>1+n⋅x
-n⋅x2-x2>0  Wid.
Antwort
HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

13:03 Uhr, 28.04.2024

Antworten
2. Zeile:
IA:n=1 :(1-x)≤11+x

Es hilft nicht, das für irgendwelche Werte zu zeigen. Mit Nenner malnehmen:
(1-x)(1+x)=1-x2≤1 gilt immer,da x2≥0. Jetzt durch (1+x)>0 teilen:
(1-x)≤11+x

Letzte Zeile:

(1-x)n+1≤1-x1+nx erweitern:
(1-x)n+1≤1-x1+nx⋅1+x1+x
(1-x)n+1≤1-x2(1+nx)(1+x)=1-x21+nx+x+nx2≤11+nx+x+nx2≤11+nx+x=11+(n+1)x