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Beweis: generisches polynom für primzahlen

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Beweis, polynom, Primzahlen

Faulus

13:06 Uhr, 11.04.2008

Hi, habe so meine probleme bei folgendem beweis.

Sei

P (x)

ein nichtkonstantes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Man zeige, dass
nicht alle Glieder der Folge

| P (0) |, | P (1) |, | P (2) |,

. . . Primzahlen sein können.

ich hab scho versucht damit zu argumentieren, dass es unendlich viele primzahlen gibt
oder auch mit

\sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} \cdot x^{i}

zu gucken, für welche

x (\in

abhängigkeit) von

a_{i}

die summe dann zusammengesetzt ist (wie beim eulerpolynom für

41

)

sorry wegen der komischen schreibweise, aber habe mir gestern den finger gebrochen und muss hier mit einer hand tippen, deswegen versuche ich mathematische formeln zu vermeiden, weil shift+taste heftig aufregt mit einer hand

; p

danke für eure hilfe..bb

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

gast01 aktiv_icon

13:39 Uhr, 11.04.2008

hallo,

schau doch mal

P (P (x) + x)

für

x \in ℕ

an.

Faulus

14:23 Uhr, 11.04.2008

Hi
Könntest du es bitte genauer erklären?
Kann dir nicht ganz folgen!

;)

Ich verstehe nichtmal Rekursion, wie soll ich da Rekursion verstehen? xD

gast01 aktiv_icon

14:30 Uhr, 11.04.2008

es ist vielleicht besser, wenn man anstelle von

P (x) + x

sogar

m P (x) + x

einsetzt. Dann ist

P (m P (x) + x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (m P (x) + x)^{k} = C P (x) + P (x)

nach ausmultiplizieren mit

C

geeignet. Also ist

P (x)

ein Teiler von

P (m P (x) + x)

. Da das Polynom nach Vorraussetzung nicht konstant ist, gilt

∣ P (y) ∣ \to \infty

für

y \to \infty

. Nun ist mit

m

hinreichend groß

∣ P (m P (x) + x) ∣ > ∣ P (x) ∣

, also

P (m P (x) + x)

nicht prim.

Faulus

15:14 Uhr, 11.04.2008

Vielen Dank
Nach etwas Rechnung habe ich es verstanden.

Computerbrain aktiv_icon

14:46 Uhr, 13.04.2008

Hey,

wenn

P (x)

sich immer schreiben lässt als

C \cdot P (x) + P (x)

dann ist es ja bewiesen, dass es keine Primzahl ist. Aber wieso ist das so???

gast01 aktiv_icon

16:00 Uhr, 13.04.2008

genauer lesen:

P (m P (x) + x) = C P (x) + P (x)

C

ist dabei natürlich von

m

abhängig.

Computerbrain aktiv_icon

16:10 Uhr, 13.04.2008

Hi,

kannst du bitte erklären warum das so ist. Ich habs gerechnet und es bleibt immer ein Term mit

x^{k}

stehen und nicht etwa

P {(x)}^{k}

also so dass es nicht durch

P (x)

teilbar ist. Könntest du bitte das ganze etwas ausführen?

gast01 aktiv_icon

16:14 Uhr, 13.04.2008

hi,

genau das ist der "Trick". Sei

P (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}

Es ist

(m P (x) + x)^{k} = c_{k} P (x) + x^{k}

. Summiert man dies nun auf, so erhält man

P (m P (x) + x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} (m P (x) + x)^{k} = C P (x) + \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}

und die letzte Summe ist

P (x)

.

gruß

Computerbrain aktiv_icon

16:38 Uhr, 13.04.2008

danke für die schnelle Antwort!

zu "P(mP(x)+x)=∑k=0nak(mP(x)+x)k=CP(x)+∑k=0nakxk":

Ok falls das nun so ist was ist damit bewiesen..ich glaube ich habe den Trick doch nicht verstanden...
Ich dachte wenn man nun

P (x)

als

c \cdot q (x) + q (x)

schreiben kann ist ja

q (x)

der Teiler...wo ist also bei den obigen Rechnungen der Clou

gast01 aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.04.2008

die Frage ist ja zunächst,

w a n n

gilt

P (x) = c (x) q (x)

, wobei

x

eine natürliche Zahl ist und

c (x), q (x)

natürliche Zahlen sind. Nun gilt speziell

P (m P (x) + x) = C (m, x) P (x) + P (x)

mit vorheriger Rechnung. Dabei sind

m P (x) + x, C (m, x), P (x)

natürliche Zahlen. Also ist

P (x)

ein Teiler von

P (m P (x) + x)

. Das ist eine

s p e z i e l l e

Eigenschaft des Argumentes

m P (x) + x

, darin liegt der Clou. Mit

m

und

x

hinreichend groß, kann man nun garantieren, dass

∣ P (m P (x) + x) ∣ > ∣ P (x) ∣ > 0

gilt und damit

P (m P (x) + x)

nicht prim ist.

Computerbrain aktiv_icon

19:02 Uhr, 14.04.2008

ich habs endlich verstanden..vielen Dank

: D

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