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Binomialkoeffizienten-Addition

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Vollständig Induktion

btom1994 aktiv_icon

15:44 Uhr, 27.10.2016

Für

a \in ℝ

definieren wir die Folge der Binomialkoeffizienten

(\begin{matrix} a \\ n \end{matrix})

für

n \in ℕ

rekursiv durch:

(\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}) := 1

und

(\begin{matrix} a \\ n + 1 \end{matrix}) := \frac{a - n}{n + 1} \cdot (\begin{matrix} a \\ n \end{matrix})

Zeige:

(\begin{matrix} a \\ n \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + 1 \\ n + 1 \end{matrix})

Also ich versuche dies mit vollständiger Induktion zu zeigen. Als Induktionsanfang habe ich

n = 0

gewählt und das passt. Jetzt kommt der Induktionsschritt von

n \to n + 1 :

(\begin{matrix} a \\ n + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ n + 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + 1 \\ n + 2 \end{matrix})

Jetzt habe ich mit der zweiten gegebenen Umformung weitergemacht:

\frac{a - n}{n + 1} + (\begin{matrix} a \\ n \end{matrix}) + \frac{a - (n + 1)}{n + 2} \cdot (\begin{matrix} a \\ n + 1 \end{matrix}) = \frac{a + 1 - (n + 1)}{n + 2} \cdot (\begin{matrix} a + 1 \\ n + 1 \end{matrix})

und nochmal:

\frac{a - n}{n + 1} \cdot (\begin{matrix} a \\ n \end{matrix}) + \frac{a - n - 1}{n + 2} \cdot \frac{a - n}{n + 1} \cdot (\begin{matrix} a \\ n \end{matrix}) = \frac{a - n}{n + 2} \cdot \frac{a + 1 - n}{n + 1} \cdot (\begin{matrix} a + 1 \\ n \end{matrix})

Und jetzt komme ich nicht mehr weiter. Ich hoffe jemand von euch hat ne Idee.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

abakus

16:02 Uhr, 27.10.2016

Mir erschließt sich überhaupt nicht, wieso du hier einen Induktionsbeweis versuchst.
Ersetze in dem linken Term unter dem Wort "Zeige" dem zweiten Summanden (also "a über n+1") durch seine Definition, die in der Zeile darüber steht. Klammere dann den gemeinsamen Faktor beider Summanden (also "a über n") aus. Dann hast du (fast) das gewünschte Ergebnis.

btom1994 aktiv_icon

16:17 Uhr, 27.10.2016

Ja das war natürlich auch mein erster Gedanke, Problem dabei ist aber, dass hierdurch nie eine Gleichheit entsteht, weil in dem Term auf der rechten Seite immer "a+1 über n" stehen bleibt und ich nur die gegebenen Umformungen verwenden darf, also keine weiteren Rechenregeln von Binomialkoeffizienten.

abakus

16:44 Uhr, 27.10.2016

Fasse nach dem Ausklammern den Klammerinhalt zusammen.

tobit aktiv_icon

17:12 Uhr, 27.10.2016

Hallo btom1994!

In der Tat scheint es mit der vorliegenden Definition der Binomialkoeffizienten nicht ohne Induktion zu gehen.

Wende in der vorletzten Zeile deiner Überlegungen die Induktionsvoraussetzung auf der rechten Seite an.

Viele Grüße
Tobias

tobit aktiv_icon

17:21 Uhr, 27.10.2016

@Gast62:

Nach deinen Anweisungen komme ich auf

"a über n" + "a über n+1" =

\frac{a + 1}{n + 1} \cdot

"a über n".

Da aber nur die rekursive Definition des Binomialkoeffizienten zur Verfügung steht, kann ich ohne induktiven Beweis nicht zeigen, dass die rechte Seite ="a+1 über n+1" ist.

btom1994 aktiv_icon

18:27 Uhr, 27.10.2016

Ok tobit habe ich gemacht und es hat funktioniert. Danke für die Hilfe.

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