Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Binomialverteilung

Binomialverteilung

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: interpretieren

arleboheche aktiv_icon

09:42 Uhr, 22.03.2016

Hallo!

Wir haben schon wenig Beispiele von Binomialverteilung durchgemacht und unser Lehrer sagt immer, dass interpretieren von Binomialverteilungen kommt und er es uns nicht erklärt, wie man das richtig macht.

Meine Frage wäre, ob ihr mir das erklären könntet zu diesem Beispiel

\to

Die Wiener Linien wissen, dass 38%der Fahrgäste Einzelfahrscheine,

57 %

Zeitkarten besitzen und der Rest Schwarzfahrer sind. In einer U-Bahn befinden sich

50

Personen.

a) X

sei die Anzahl der Schwarzfahrer. Begründe genau, warum hier eine Binomialverteilung vorliegt.

b)

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den

50

Personen vier Schwarzfahrer befinden, ist gegeben durch:

P (X = 4) = (50

über

4) \cdot 0 . 05^{4} \cdot 0 . 95^{46}

Erklären Sie die Bedeutung des Ausdrucks

(50

über

4)

in dieser Formel.

c)

Erklären Sie, wie sich dieser Wert ohne Taschenrechner berechnen lässt.

Danke im Voraus!

supporter aktiv_icon

09:57 Uhr, 22.03.2016

a)

Es geht um eine sehr große Grundgesamtheit (alle Wiener Fahrgäste). Die Stichprobe hat einen sehr kleinen Umfang. Es geht damit um Ziehen mit Zurücklegen---> Binomialverteilung.

b)Man berechnet die WKT, dass unter

50

Personen genau 4 Schwarzfahrer sind.

c)Per Hand ist das sehr aufwändig. Man kann ein Tabellenwerk benutzen, um

P (X = 4)

zu berechnen.

PS:

(\begin{matrix} 50 \\ 4 \end{matrix}) = \frac{50!}{4! \cdot 46!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47}{24} = 50 \cdot 49 \cdot 2 \cdot 47

arleboheche aktiv_icon

10:46 Uhr, 22.03.2016

Danke! :-)

Bummerang

10:52 Uhr, 22.03.2016

Hallo supporter,

"Es geht um eine sehr große Grundgesamtheit (alle Wiener Fahrgäste). Die Stichprobe hat einen sehr kleinen Umfang. Es geht damit um Ziehen mit Zurücklegen---> Binomialverteilung."

Das ist grober Unfug! Die Grundgesamtheit bei diesem Experiment ist die Anzahl der Fahrgäste in der U-Bahn und nicht alle Wiener Einwohnenr und obwohl

50

schon irgendwie groß ist, ist es bestimmt nicht sehr groß! Die korrekte Antwort müsste lauten, dass es hier um ein kumuliertes Ergebnis von Einzelexperimenten geht, bei denen es genau zwei mögliche Ausgänge gibt und die Einzelwahrscheinlichkeit konstant ist! Die Einzelwahrscheinlichkeit ergibt sich als

0,05

für's Schwarzfahren und

0,95

für's nicht Schwarzfahren. Und diese Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem erneuten Versuch (jeder weiteren Kontrolle) konstant und am Ende zählt nicht das Ergebnis des einzelnen Experiments, sondern allein die Anzahl (zusammengezählt, kumuliert) der Einzelexperimente, die einen bestimmten Ausgang hatten.

"Man berechnet die WKT, dass unter

50

Personen genau 4 Schwarzfahrer sind."

Das beantwortet doch die Aufgabe "Erklären Sie die Bedeutung des Ausdrucks

(\begin{matrix} 50 \\ 4 \end{matrix})

in dieser Formel." nicht! Am einfachsten erklärt sich das Ganze anhand des Ereignisbaumes (den man dafür nicht unbedingt aufschreiben muss). Ausgehend von der Wurzel, gehen zwei Wege mit den beiden Wahrscheinlichkeiten ab, die bei der einzelnen Kontrolle zutreffen können. Wenn man diesen Ereignisbaum bis

50

fortgesetzt hat, dann gibt es

2^{50}

Endknoten. Geht man diese zurück, dann findet man genau 4 Schwarzfahrer auf den Wegen, auf denen die Einzelwahrscheinlichkeit

0,05

genau 4 Mal und die Einzelwahrscheinlichkeit

0,95

genau

46

Mal vorkommen und die dafür sorgen, dass in diesem Endknoten die Wahrscheinlichkeit

{0,05}^{4} \cdot {0,95}^{46}

steht. Jetzt muss man noch die Anzahl der Endknoten, diesen Wert ergeben zählen, damit man diese Wahrscheinlichkeiten addieren kann (da diese Wahrscheinlichkeiten alle gleich sind ist ein n-maliges Addieren dieser Werte natürlich gleich dem n-fachen Produkt der Wahrscheinlichkeit). Die Anzahl der Endknoten mit

{0,05}^{4} \cdot {0,95}^{46}

ist

(\begin{matrix} 50 \\ 4 \end{matrix})

. Um diese Zahl auf die Situation der Kontrolle zu interpretieren, spiegelt diese Zahl die Anzahl der möglichen Folgen von Schwarz- und Nichtschwarzfahrern, auf die ein Kontrolleur treffen kann, wenn er genau 4 Schwarzfahrer unter

50

Fahrgästen antrifft.

"Erklären Sie, wie sich dieser Wert ohne Taschenrechner berechnen lässt."

Hier würde ich an der Stelle

50 \cdot 49 \cdot 2 \cdot 47

nicht aufhören:

50 \cdot 49 \cdot 2 \cdot 47 = 100 \cdot 49 \cdot 47

Ab hier gibt es zwei mögliche effektive Wege, die schriftliche Multiplikation von

49 \cdot 47

halte ich nicht wirklich für effektiv:

1. Weg: binomische Formel

= 100 \cdot (48 + 1) \cdot (48 - 1) = 100 \cdot (48^{2} - 1) = 100 \cdot ({(3 \cdot 16)}^{2} - 1) = 100 \cdot (3^{2} \cdot 16^{2} - 1)

= 100 \cdot (9 \cdot 256 - 1) = 100 \cdot ((10 - 1) \cdot 256 - 1) = 100 \cdot (10 \cdot 256 - 256 - 1) = 100 \cdot (2560 - 257)

= 100 \cdot 2303 = 230300

Der ausführliche Weg vollständig aufgeschrieben ist lang und lässt den Weg natürlich auch nicht effektiv aussehen. Aber mit etwas Erfahrung und rechnerischen Fähigkeiten reduziert sich das Ganze zu:

= 100 \cdot (48^{2} - 1) = 100 \cdot (9 \cdot 256 - 1) = (2560 - 257) = 100 \cdot 2303 = 230300

2. Weg: Distributivgesetz mit einfachen Werten in der Klammer

= 100 \cdot (50 - 1) \cdot (50 - 3) = 100 \cdot (50^{2} - 4 \cdot 50 + 3) = 100 \cdot (2500 - 200 + 3) = 100 \cdot 2303 = 230300

EDIT @arleboheche:

Wenn zu Beginn steht, dass da jemand antwortet, lohnt es sich

i . d . R

. auf dessen Antwort zu warten. Und ich habe für die Antwort länger als 6 Minuten benötigt, weil es da genügend zu schreiben gab. Diese Zeit sollte man schon jemandem für eine Antwort gönnen.

arleboheche aktiv_icon

18:29 Uhr, 22.03.2016

Vielen Dank !
Jetzt ist es um einiges verständlicher geworden! :-)

1297389

1297263

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?