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Darstellungsmatrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: darstellungsmatrix, Matrizenrechnung, polynom

Lolelei aktiv_icon

16:23 Uhr, 17.01.2010

Hall,

Hab wieder so eine komische Aufgabe, wo ich nicht wieß, wie ich das berechnensoll :(

1. Frage: was genau ist eine darstellungsmatrix? ich finde keine gute erklärung weder im internet auch in den büchern, die ich habe.

2.Frage: Wie gehe ich bei so einer aufgabe vor bzw. wie berechne ich sie?

ist es zufall, dass

$M_{B}^{B} (f) * (1, t, t^{2}) = (t^{2} + 1, t^{2}, t^{2} + t + 1) = C$

ergibt oder hat das was mit der aufgabe zu tun?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

michaL aktiv_icon

20:32 Uhr, 17.01.2010

Hallo,

> 1. Frage: was genau ist eine darstellungsmatrix? [...]

Zunächst musst du wissen/lernen, dass die Angabe eines Vektors wie z.b.

(1; 2; 3)

OHNE weitere Angaben KEINEN Sinn hat. Wenn du dahinter einen Sinn siehst, machst du eine stillschweigende Annahme (die i. Allgmeinen auch richtig ist), über die man aber eigentlich reden sollte.

Der Vektor oben ist ein Koordinatenvektor. Ohne eine zugrunde liegende Basis könnte es (fast) alles sein.
Die stillschweigende Annahme ist meist, dass man ihn als Koordinatenvektor bzgl. der Standardbasis

E = {e_{1},_{2}, e_{3}}

versteht.

Diese Standardbasis ist oft die erste Wahl. Einfach zu verstehen, leicht darzustellen, sind nur einige der Vorteile. Manchmal sind (gerade zum Rechnen, siehe deine Aufgabe) andere Basen sinnvoller. Dazu später unten mehr.

Stets versteht sich ein Koordinatenvektor

(1; 2; 3)

bzgl. einer Basis

B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}}

als

1 \cdot b_{1} + 2 \cdot b_{2} + 3 \cdot b_{3}

.

Um mal wieder den Bezug zur Aufgabe herzustellen, verstünde sich der Koordinatenvektor

(1; 2; 3)

bzgl. der in der Aufgabe gegebenen Basis

B

als das Polynom

1 \cdot 1 + 2 \cdot t + 3 \cdot t^{2} = 3 t^{2} + 2 t + 1

.
Bzgl. der in der Aufgabe gegebenen Basis

C

entspräche er aber

1 \cdot (t^{2} + 1) + 2 \cdot t^{2} + 3 \cdot (t^{2} + t + 1) = 5 t^{2} + 3 t + 4

.

So: Koordinatenvektoren sind immer auf eine Basis bezogen.

Jetzt zu den darstellenden Matrizen: Jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen kann durch Matrizen dargestellt werden. Dazu wählt man in dem Urbildvektorraum (dem VR, aus dem die Urbilder sind) eine Basis

B_{1}

, eine Basis

B_{2}

für den Bildvektorraum, berechnet die Koordinatenvektoren der Bilder der Elemente von

B_{1}

bzgl.

B_{2}

.
(Ich weiß, dass dieser Satz schwierig zu verstehen ist, aber ich kann ihn nicht einfacher machen.)

Bedenke, dass der Koordinatenvektor

(1; 0; 0)

bzgl einer Basis

{b_{1}, b_{2}, b_{3}}

immer

b_{1}

bedeutet.

Machen wir das jetzt mal für deine Aufgabe: Die Abbildung ist ja in Form einer Darstellugnsmatrix gegeben.
(Das muss nicht sein, z.b. könnte man als Abbildung von

V

in sich die Ableitung nehmen, die ist linear. Dann muss man mehr selber tun.)

Die Abbildungsmatrix besagt, dass

1 \mapsto 1 + t^{2}

t \mapsto t^{2}

und

t^{2} \mapsto 1 + t + t^{2}

.
(Damit ist die Antwort auf deine letzte Frage, ob das Zufall ist folgende: Der Aufgabensteller hat sich was dabei gedacht, dass

b_{1} \mapsto c_{1}

, usw. Also kein Zufall.)

Aber damit hätte

M_{B}^{C} (f)

schon mal (die eingangs erwähnte), einfache Form:
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Das ist so zu verstehen: Koordinatenvektoren der Urbilder verstehen sich bzgl. der Basis

B

(1; 0; 0)

steht also für

b_{1} = 1

. Die koordinatenvektoren der Bilder verstehen sich bzgl. der Basis

C

, das Bild von

(1; 0; 0)

(eg.

b_{1}

) ist also

(1; 0; 0)

(eg.

c_{1}

). usw.

Wie berechnet man nun z.B.

M_{C}^{B} (f)

?
Du musst die Bilder der Koordinatenvektoren

(1; 0; 0)

(0; 1; 0)

und

(0; 0; 1)

bzgl. der Basis

C

als Koordinatenvektoren bzgl.

B

ausdrücken. Die Ergebnisse sind die Spalten der Darstellungsmatrix.
Konkret:

f ((1; 0; 0)_{C}) = f (c_{1}) = f (1 + t^{2}) = f (1) + f (t^{2}) = (1 + t^{2}) + (1 + t + t^{2}) = 2 + t + 2 t^{2} = (2; 1; 2)_{B}

Die erste Spalte von

M_{C}^{B} (f)

ist also
2
1
2

So. lange Rede kurzer(?) Sinn: So macht man das. Berechne doch mal die anderen

f (c_{2})

und

f (c_{3})

bzgl.

B

und gib die Darstellugnsmatrix vollständig an.
Dann kämpfe dich durch das gleiche bei der Darstellungsmatrix

M_{C}^{C} (f)

.

Übrigens: Es gibt zwischen den Darstellungsmatrizen verschiedener Sorte gleichungsmäßige Zusammenhänge. Diese habt ihr sicher in der Vorlesung gehabt. Ich habe diese NICHT verwendet. Damit wären die Aufgaben vielleicht einfacher zu lösen, aber diese zu verstehen wäre sicher noch mal eine Hürde oben drauf (wenngleich nicht wirklich was Schwieriges dahinter steckt).

Mfg Michael

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