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Einzelne Dezimalziffer von PI berechnen. Möglich?

Universität / Fachhochschule

Tags: BBP, BBP Formel, funktionen bestimmen, Summenformel

Kalas aktiv_icon

18:33 Uhr, 25.07.2013

Dies ist eine eher philosophische Frage.

Und zwar frage ich mich ob es überhaupt eine Formel geben könnte, mit der man einzelne Nachkommastellen (als Dezimalziffer) von

π

berechnen kann, ohne die vorherige Ziffern ausrechnen zu müssen. So könnte zum Beispiel ein Taschenrechner (der in der Regel 9 Ziffern anzeigt,

11

Ziffern berechnen) tatsächlich

z . B 30

Ziffern ausrechnen. Es geht quasi über die eigene Vorstellungskraft der Rechenmaschine hinaus.

Es gibt zwar bereits eine BBP Formel, mit der sich einzelne Ziffer von

π

berechnen lassen, doch allerdings nur in hexadezimal Form.
Die BBP Formel sieht so aus:

π = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^{k}} (\frac{4}{8 k + 1} - \frac{2}{8 k + 4} - \frac{1}{8 k + 5} - \frac{1}{8 k + 6})

wenn man nun die Formel etwas umstellen würde, so kann man die einzelnen Ziffern berechnen. Darauf möchte ich nicht genau eingehen wie das funktioniert.

Meine Frage: Kann eine Formel existieren, mit der man auch für uns übliche Dezimalziffern von

π

berechnen kann?

Mein ansatz wäre:

π = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{10^{k}} f (k)

Wenn ich

f (k)

entdeckt habe, könnte ich dann - ähnlich wie bei der BBP Formel - die einzelnen Dezimalziffern berechnen?

wie ich dann die Gleichung löse um

f (k)

zu erhalten weiss ich nicht. Ich schreibe dann ein Programm der durch ein Zufallsgenerator alles mögliche probiert, und vielleicht hab ich ja Glück^^

Vielen dank fürs Reindenken. Ich hoffe ihr versteht was ich meine.
Mfg, Kalas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

13:00 Uhr, 30.07.2013

Hallo Kalas
Zunächst mal, ich freue mich, dass du dich auch für numerische Programme für pi interessierst. Ein Thema, das ich lange auch mit Programmalgorithmen bearbeitet habe. Die von dir genannte Summenformel war mir daraus noch nicht bekannt. Danke dafür!
Ich hatte genutzt:
a) "Gauss"-Algorithmus:
pi = 48*arctan(1/18) + 32*arctan(1/57) - 20*arctan(1/239)
= 4 * [ 12*(1/18 ) - 12/3*(1/18 )^3 + 12/5*(1/18 )^5 - 12/7*(1/18 )^7 ...
+ 8*(1/57 ) - 8/3*(1/57 )^3 + 8/5*(1/57 )^5 - 8/7*(1/57 )^7 ...
- 5*(1/239) + 5/3*(1/239)^3 - 5/5*(1/239)^5 + 5/7*(1/239)^7 ... ]
b) (siehe auch Wikipedia)
pi = 48*arctan(1 / 49) + 128*arctan(1 / 57) - 20*arctan(1 / 239) + 48*arctan(1 / 110443)
c)
pi = 176*arctan(1 / 57) + 28*arctan(1 / 239) - 48*arctan(1 / 682) + 96*arctan(1 / 12943)

Und du hast recht. Allen diesen Algorithmen gemein ist, dass man um zB. die eintausendste Stelle von Pi zu berechnen, alle Summanden der Reihenentwicklung berechnen muss, bis diese eben kleiner als 1.e-1000 sind. Und das ist (Rechner-) Arbeits-intensiv.
Ich hoffe, ich habe dein Ansinnen richtig verstanden. Du willst zB. die eintausendste Stelle von Pi direkt errechnen, ohne lange eine ganze Reihe von Summanden durchnudeln zu müssen.

Auch wenn ich dieses Ansinnen durchaus für löblich halte, so nimm mir bitte nicht übel, dass meine Kommentare hierzu eher ernüchternd sind.

a)
Wenn ich dich recht verstehe, siehst du in der Formel, die du "BBP-Formel" genannt hast, ein Verfahren, um im Hexadezimalen Zahlensystem direkt eine x-beliebige Stelle errechnen könntest. Falls ich dich so recht verstanden habe, dann muss ich dich leider enttäuschen. Ich fürchte, dann hast du die Formel falsch interpretiert. Der Einfachheit halber bleibe ich dabei im 10-er Zahlensystem. Sei versichert, das was ich aussagen will, ist im (16-er-) Hexadezimal-Zahlensystem genauso.
Hier die Liste der einzelnen Summanden:
k= 0 ; Summand = 3.13333333333333333
k= 1 ; Summand = 0.00808913308913309
k= 2 ; Summand = 0.000164923924115101
k= 3 ; Summand = 0.00000506722085385879
k= 4 ; Summand = 0.00000018789290093772
k= 5 ; Summand = 0.00000000776775121517736
k= 6 ; Summand = 0.000000000344793293050862
k= 7 ; Summand = 0.000000000016091877155537
k= 8 ; Summand = 0.000000000000779570295400102
k= 9 ; Summand = 0.0000000000000388711525990975
------------------------------------------------
Summe: pi = 3.14159265358979323846264
Schauen wir uns doch einfach mal die 15. Stelle der Zahl pi an. Die 15. Stelle ist eine "9".
Und - wie man sieht, setzt sie sich aus allen 9 Summanden zusammen. Du musst also auch bei dieser "BBP-Formel" alle Summanden (von k=0 bis 9) durchexerzieren, um die entsprechende Stelle zu errechnen. Übrigens: dies eben auch im Hexadezimal-Zahlensystem.

b) Wenn ich recht erahne, was du nun zum Dezimal-Zahlensystem aussagen und hinterfragen willst, dann verfolgst du die Idee, anhand einer Formel direkt die k-te Stelle von pi errechnen zu wollen. Du nennst dazu den Ansatz:
pi= Summe[ f(k)/(10^k) ]
Ich vermute und verstehe dich so, dass du dabei denkst und erhoffst, dass f(k) folgende Werte annehmen soll:
f(0)= 3
f(1)= 1
f(2)= 4
f(3)= 1
f(4)= 5
f(5)= 9
f(6)= 2
f(7)= 6
f(8)= 5
f(9)= 3
Kurz gesagt, wenn ich dich recht verstehe, hoffst du für f(k) direkt die k-te Stelle von pi errechnen zu können. Hierzu müssten alle f(k) natürliche Zahlen zwischen 0 und 9 sein, also direkt die Ziffern der Zahlenfolge abbilden.
Und genau dies halte ich für sehr gewagt, unwahrscheinlich oder nahezu aussichtslos.
Begründung:
> Schau dir doch mal die gängigen Reihenentwicklungen an. Sie bestehen zwar genauso, wie deine, häufig aus Brüchen, also aus Zähler / Nenner. Es treten auch durchaus Nenner auf, die so wie deiner aussehen, nämlich Nenner=(10^k). Aber keine auch nur annähernd geläufige Reihe beinhaltet Terme, die so aussehen, wie dein 'Wunsch-Zähler'. Typische Reihen-Zähler sind Summen, Produkte, Potenzfunktionen, Fakultäten, Binomial-Faktoren o.ä.. Kurz gesagt, sie sind stetig über k. Sie werden mit steigendem k stetig immer größer, oder immer kleiner. Aber so eine ZickZack-Funktion, beschränkt auf die Ziffern 0-9, nein, ich kann mir beim besten Willen nicht vorstellen, wie hierfür eine geschlossene Funktionsgleichung aussehen soll.
> Die Zahl pi wird ja häufig auch in der Kryptologie verwendet. Dies gerade deshalb, weil man weiß, dass die Ziffernfolge zufälligen Mustern folgt, also gerade KEIN Muster besitzt.

Wie gesagt, vielleicht habe ich dich falsch verstanden. Dann solltest du dich nochmals deutlicher ausdrücken, falls du weiterhin hoffen willst, dass ein (anderer) kluger Kopf dir weiterhelfen könnte.
Ich will deinem Forscherdrang auch keinenfalls im Wege stehen. Ich wollte nur meinen Kommentar anbieten, und andeuten, wie aussichtslos ich dein Ansinnen sehe, falls ich dich bisher richtig verstanden habe.
Viel Spaß weiterhin!

Kalas aktiv_icon

23:21 Uhr, 30.07.2013

Hi, danke für deine lange Antwort.
Du hast verstanden nach welcher Formel ich suche. Du siehst es als sehr unwahrscheinlich dass es soetwas überhaupt exisiert. Aber ich glaube wenn ich dir erkläre wie man die BBP Formel anwendet, wirst du es nicht mehr als so unwahrscheinlich sehen ;-)

man rechne:

16 \cdot (\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{4 \cdot 16^{n - k - 1} mod (8 k + 1)}{8 k + 1} - \frac{2 \cdot 16^{n - k - 1} mod (8 k + 4)}{8 k + 4} - \frac{16^{n - k - 1} mod (8 k + 5)}{8 k + 5} - \frac{16^{n - k - 1} mod (8 k + 6)}{8 k + 6} mod 1)

n

ist die soundsovielste Ziffer nach dem Komma

Das Ergebnis in hexadezimal Zahl umgewandelt (die Nachkommastellen sind zu ignorieren), ergibt die n-te Nachkommastelle von

π

im Hexadezimalsystem.

Wenn man nun die

100

. Nachkommastelle berechnen will, so ist das Rechnen mit

16^{100}

modulo 9 denoch für eine normale Rechenmaschine sehr einfach zu lösen. Denn die Zahl

16^{100}

muss nicht berechnet werden. Stattdessen:

(((16 mod 9) \cdot 16 mod 9) \cdot 16 mod 9) \cdot 16 mod 9

usw. das ganze muss sich

100 x

wiederholen. Es werden also nur mit kleinen Zahlen gerechnet um auf das Ergebnis zu kommen.

Somit lassen sich "beliebig" viele Nachkommastellen berechnen. (Ich hoffe ich habe das richtig erklärt)

Es gibt ein Rechenbeispiel auf der Seite: www.unet.univie.ac.at~a8727063/Science/BBP/

Die Formel wird auch sehr gut in www-math.uni-paderborn.de~aggathen/vorl/2004ws/sem/sebastian-aland.pdf beschrieben.

Wie du siehst, es gibt eine Formel mit der man einzelne Ziffern berechnen kann, leider nur im hexadezimalsystem. Mich beschäftigt die Frage, ob es auch eine Formel geben könnte, um dezimalstellen von

π

zu berechnen.

Mfg, Kalas

Edddi aktiv_icon

07:36 Uhr, 31.07.2013

. .

. ja, da ist wohl nur Schade, dass wir nicht mit

16

Fingern auf die Welt gekommen sind. Dann wäre die n-te Stelle von

π

schnell zu berechnen.

Dein Problem ist dann wohl nicht die BBP-Formel, sondern die Umrechnung einer Stelle in verschiedene Stellenwertsysteme.

Hab mich mal nicht groß reingehangen, aber machen wir mal ein Extrembeispiel.

Umrechnung der 3. Stelle aus dem 100-er System in unser 10-er System.

Das Hunderter System hat die "Ziffern" 0 bis

99

Die 3. Stelle hat also einen dezimalen Zahlenwert von

\frac{0}{1000000}

bis

\frac{99}{1000000}

und ist somit kleiner als ein Zehntausendstel. Diese 3. Stelle aus dem Hunderter-System beeinflusst die Zehner-Zahl also erst ab der 5. Stelle!

Zusammenfassend:

1. Stelle im 100-er bestimmt die 1. und 2. Stelle im 10-er
2. Stelle im 100-er bestimmt die 3. und 4. Stelle im 10-er
3. Stelle im 100-er bestimmt die 5. und 6. Stelle im 10-er
usw.

Man kann also keine Aussage aus der 3. Stelle eines Hunderter-Systems zur 3. Stelle im Zehner-System machen.

Möchte man die 3. Stelle im Zehner System wissen, so muss die 2. Stelle im Hunderter System ausgewertet werden.

Beispiel (Habe die Hunderter-Ziffern mal mit ' getrennt):

{2,' 99' 17' 5}_{100} = {2,991705}_{10}

um die 3. Stelle nach Komma von

2,991705

zu berechnen (wäre die

1)

müsste die 2. Stelle des Hunderter Systems untersucht werden:

Diese ist die

17,

welche dir die 1 als Ergebnis für die 3. Stelle in unserem System liefert.

Analog müsste man dies nun für die 16-er Basen tun. Allerdings sind die Bereiche hier nicht so klar abgetrennt wie in den

10^{n}

Bereichen.

1. Stelle im Hex beeinfusst mit

\frac{0}{16}

bis

\frac{15}{16} \to 0

bis

0,9375

(Änderungen bis zur 4. Stelle hinter dem Komma)

Also 1. bis 4. Stelle im Dezimalen

2. Stelle im Hex beeinfusst mit

\frac{0}{256}

bis

\frac{15}{256} \to

mit maximal

0,05859375

(Änderungen bis zur 8. Stelle hinter dem Komma)

Also 2. bis 8. Stelle im Dezimalen

3. Stelle im Hex beeinfusst von

\frac{0}{4096}

bis

\frac{15}{4096} \to 0

bis

0,003662109375

(Änderungen bis zur

12

. Stelle hinter dem Komma)

Also 3. bis

12

. Stelle im Dezimalen

4. Stelle im Hex beeinfusst von

\frac{0}{65536}

bis

\frac{15}{65536} \to 0

bis

0,0002288818359375

(Änderungen bis zur

16

. Stelle hinter dem Komma)

Also 4. bis

16

. Stelle im Dezimalen

.
.
.

n

.-te Stelle im Hex beeinfusst von

n \cdot log (16)

bis

4 \cdot n

(Änderungen bis zur

4 \cdot n

.-ten Stelle hinter dem Komma)

Also

⌊ n \cdot log (16) ⌋

bis

4 \cdot n

Stelle im Dezimalen

Die

n \cdot log (16)

kommen durch die Basis Zustande, da keine so klare Abtrennung wie bei den Zehner, Hunderter usw. - Systemen. Daher die Gaußklammer zum abrunden.

Wenn du also die

n

. te Stelle von

π

berechnen willst, so musst du wahrscheinschlich im Hex-System die Ziffern von

⌈ \frac{n}{4} ⌉

bis

⌊ \frac{n}{log (16)} ⌋

berücksichtigen.

Beispiel:

Für die

10

. Stelle von

π

die 3. bis 8. Stelle der Hex-Ziffern zu berücksichtigen.

Du musst also nicht alle Ziffern, sondern (bei hohen Stellen) nur ca.

\frac{1}{log (16)} - \frac{1}{4} \approx 0,6

aller Ziffern der HEX-Darstellung von

π

berücksichtigen.

So, das mal nur so als Gedankenanstoß, muss jetzt erstmal auch wieder ein bißchen meine Brötchen verdienen.

;-)

Kalas aktiv_icon

17:18 Uhr, 31.07.2013

Die Idee kam mir auch am anfang. Es wäre möglich ein Programm dafür zu schreiben. Doch der Rechenaufwand wäre extrem. Und als eine Formel lässt sich das auch nicht auf dem Papier schreiben. Zudem müssen viele die Ziffer davor berechnet werden. Da ist eine herkömmliche Methode

π

zu ermitteln einfacher.
Eine Hexadezimalzahl lässt sich nur prima in vier Binärziffern umwandeln oder zwei Oktaziffern.

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^{k}} (\frac{4}{8 k + 1} - \frac{2}{8 k + 4} - \frac{1}{8 k + 5} - \frac{1}{8 k + 6}) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{10^{k}} f (k)

lässt sich nicht auf

f (k)

umstellen. Weil es das nicht geht, bedeutet es dass es keine Lösung für

f (k)

gibt? Oder würde es eine Lösung für

f (k)

geben, wenn man nur wüsste wie man vorgeht?

Man weiss nur dass:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^{k}} f (k)

umgestellt auf

f (k) = \frac{4}{8 k + 1} - \frac{2}{8 k + 4} - \frac{1}{8 k + 5} - \frac{1}{8 k + 6}

ergebe.

Edddi aktiv_icon

19:25 Uhr, 31.07.2013

Doppelpost
:-)

Edddi aktiv_icon

19:29 Uhr, 31.07.2013

. .

. vom Gefühl her stell ich mal folgende Vermutung auf:

Eine direkte Stellenberechnung in verschiedenen Stellenwertsystemen ist nur möglich, wenn sich die Potenzen durch die selbe Basis darstellen lassen.

Basis 2 liefert

2, 4, 8, 16, 32

usw.

Aus dem Hex System lässt sich direkt in 0kt oder Dualsystem umrechnen, so wie dies ja auch im Hunderter oder Tausender System sehr gut ins Zehner-System umrechnen lies ( voriger Beitrag), hier als die Basis

10

.

Stellenwert Systeme mit der Basis 3 sollten dann gut ins 9-er oder 27-er System gehen.

Das 12-er System ist da dann wohl eher unbrauchbar, da das nächste System dann erst die Basis

144

hätte.

...ich denke also, dass es nicht möglich ist, die Hexzahl direkt umzuwandeln.

Hier wäre noch die Frage interessant, ob, wenn wir mit

16

Fingern geboren wären und das Hex-Sytem hätten, in diesem Hex-system auch eine Bbp-Formel hätten ?

:-)

Edddi aktiv_icon

19:44 Uhr, 31.07.2013

Aber durch deinen Beitrag bin ich endlich auf die Lösung eines DER Probleme übehaupt gekommen:

Es heisst nämlich, Chuck Norris kenne die letzte Stelle von

π

.

Klar, seine Mathematik beruht auf dem Stellenwertsystem zur Basis

π

.

Da ist

{π}_{10} = {10}_{π}

also

10, \bar{0}

Die letzte Stelle von

π

ist in diesem System die Null.

:-)

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