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Euklidischer Abstand zwischen zwei punkten hyperbe

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Sonstiges

Tags: Sonstig

Sara1234567 aktiv_icon

13:45 Uhr, 06.05.2024

Kann mir das jemand erklären und mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

14:26 Uhr, 06.05.2024

Man kann doch nun einfach mal die Abstände

d (P, E)

und

d (P, F)

für alle Punkte

P = (x, \frac{1}{x})

ausrechnen:

d (P, E) = \sqrt{{(x - \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{1}{x} - \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 4 - \frac{2 \sqrt{2}}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \overset{!}{=} ∣ x - \sqrt{2} + \frac{1}{x} ∣

d (P, F) = \sqrt{{(x + \sqrt{2})}^{2} + {(\frac{1}{x} + \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 4 + \frac{2 \sqrt{2}}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \overset{!}{=} ∣ x + \sqrt{2} + \frac{1}{x} ∣

Die geometrische Hyperbeldefinition sagt nun, dass es ein

d > 0

geben muss mit

∣ d (P, E) - d (P, F) ∣ = d

. Wie sieht es damit nach den obigen Rechnungen aus?

Sara1234567 aktiv_icon

16:07 Uhr, 06.05.2024

Was bedeutet das = mit dem ! Oben drüber

HAL9000

16:14 Uhr, 06.05.2024

Mathematisch ist es einfach ein normales Gleichheitszeichen. Das Ausrufezeichen darüber soll nur andeuten, dass man dieser Gleichheit besondere Beachtung schenken sollte - weil man sie vielleicht nicht sofort "sieht", aber durchaus nachprüfen kann. ;-)

Sara1234567 aktiv_icon

13:49 Uhr, 07.05.2024

Egal welchen Wert ich für

x

einsetze die Abstände sind immer größer 0 oder nicht?
Und wie zeige ich welchen Wert

d

hat

Sara1234567 aktiv_icon

13:49 Uhr, 07.05.2024

Egal welchen Wert ich für

x

einsetze die Abstände sind immer größer 0 oder nicht?
Und wie zeige ich welchen Wert

d

hat

HAL9000

14:47 Uhr, 07.05.2024

Das ist deine ganze Erkenntnis nach einem Tag und nach der Vorarbeit oben???

Betrachten wir das ganze mal getrennt nach den beiden in Frage kommenden Fällen:

1) Für

x > 0

ist

x + \frac{1}{x} \geq 2

(Nachweis?), damit folgt aus den obigen Erkenntnissen

d (P, E) = x - \sqrt{2} + \frac{1}{x}

sowie

d (P, F) = x + \sqrt{2} + \frac{1}{x}

. Kannst du wenigstens damit nun endlich

∣ d (P, E) - d (P, F) ∣

für diesen Fall berechnen?

2) Für

x < 0

ist hingegen

x + \frac{1}{x} \leq - 2

, damit folgt aus den obigen Erkenntnissen

d (P, E) = - (x - \sqrt{2} + \frac{1}{x})

sowie auch

d (P, F) = - (x + \sqrt{2} + \frac{1}{x})

. Auch hier sollte die Berechnung von

∣ d (P, E) - d (P, F) ∣

dann keine größere Hürde darstellen.

Sara1234567 aktiv_icon

14:50 Uhr, 07.05.2024

Wie kommst du da drauf.
Wir kamen auf das Ergebnis 2 Wurzel

2 = d

HAL9000

15:02 Uhr, 07.05.2024

Ich schreibe 90% des Lösungswegs auf, und du antwortest mit "Wie kommst du darauf?". Das wird mir hier zu blöd mit deiner 100%-igen Arbeitsverweigerung. Such dir einen anderen Dummen - und Tschüss.

Mathe45

15:11 Uhr, 07.05.2024

. .

. etwas Anderes

Hyperbel

y = \frac{1}{x}

( mit den bekannten Eigenschaften )

\Rightarrow

Scheitel

(- 1 | - 1)

bzw,

(1 | 1) \Rightarrow

Halbachsen

a = b = \sqrt{2}

\Rightarrow

lineare Exzentrizität

\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}} = 2

\Rightarrow

Die Brennpunkte haben die Koordinaten

(- \sqrt{2} | - \sqrt{2})

und

(\sqrt{2} | \sqrt{2})

\Rightarrow

konstante Differenz der Leitstrahlen muss

2 \cdot \sqrt{2}

sein.

1585505

1585433

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