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Extremwertaufgabe

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Tags: Extremwertaufgabe

 
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JaninaK

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17:06 Uhr, 21.03.2016

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Hi,

aus Blechtafeln von 1,20m Breite soll ein rechteckiger Luftabzugskanal gebogen werden. Welche Abmessungen muss der Kanal haben, damit möglichst viel Luft transportiert wird?

Hauptbedingung: A=ab

Nebenbedingung: Umfang U=2a+2b

Jetzt hatte ich erst b=1,20m gewählt, aber es ist ja die Breite von den Blechtafeln und nicht des Kanals. Wo setze ich die 1,20m ein und weshalb? Habe Probleme das sinnvoll nachzuvollziehen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Atlantik

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17:29 Uhr, 21.03.2016

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Die Breite der Blechtafel ist 1,20m

Diese wird zum rechteckigen Kanal gebogen.

Also

HB:

A(a,b)=ab soll maximal werden, damit möglichst viel Luft strömen kann.

NB:

U=1,20m

2a+2b=1,20

....


mfG

Atlantik
Frage beantwortet
JaninaK

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17:36 Uhr, 21.03.2016

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Wieso ist die Breite der Blechtafel der Umfang des Luftkanals? Das verstehe ich null..
JaninaK

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17:37 Uhr, 21.03.2016

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Wieso ist die Breite der Blechtafel der Umfang des Luftkanals? Das verstehe ich null..
Antwort
Roman-22

Roman-22

17:55 Uhr, 21.03.2016

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Die Angabe mag ein wenig unpräzise formuliert sein.

Formulieren wir es anders.
"Aus EINER rechteckigen Blechtafel mit der Breite 1,20m und der Länge 6m soll ein 6 Meter langer Teil eines Luftabzugskanal mit rechteckigem Querschnitt gebogen werden."

Jetzt sollte klar sein, dass nur eine Tafel verwendet werden darf, um den Kanal rundum zu bilden und auch, dass nun natürlich die Breite der Tafel den Umfang des Kanals bildet.
Kannst du dir das nun vorstellen?

R

JaninaK

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17:58 Uhr, 21.03.2016

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Leider nicht. Ist die Form des Kanals ein Quadar oder ein Rechteck? Was hat der Umfang damit zu tun..
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Roman-22

Roman-22

18:10 Uhr, 21.03.2016

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Die Form des Kanals ist ein Quader (das steht falsch in der Originalangabe), der Querschnitt des Kanals ist daher ein Rechteck und in der ganzen Aufgabe geht es auch nur um diesen Querschnitt.

Nimm dir ein A4 Blatt her, das ist 21cm breit (und 29,7 cm lang/hoch).
Denk dir, oder mach es wirklich, auf diesem Blatt 3 senkrechte Linien über die gesamte Blatthöhe, so dass auf dem Blatt 4 Streifen entstehen, der erste zB mit 4cm Breite, der zweite mit 6,5cm Breite, dann wieder 4cm Breite und der letzte Streifen muss dann automatisch wieder 6,5 cm Breite haben. Entlang der 3 Linien wird das Blatt nun gefaltet, sodass dort jeweils 90° Winkel entstehen. Du solltest nun einen "Kanal" mit rechteckigem (4cm×6,5cm) Querschnitt haben, der entlang einer Längsseite noch zusammengeschweißt/-geklebt werden müsste. Wie groß ist der Umfang des Querschnitts?

R

Frage beantwortet
JaninaK

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21:25 Uhr, 21.03.2016

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Danke. :-)
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Stephan4

Stephan4

17:48 Uhr, 22.03.2016

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Du könntest mit diesem Blech auch ein rundes Rohr von 6 Metern Länge und einem Kreisdurchmesser machen. Dieser Kreis hätte dann einen Umfang von 1,2 Metern.

Hier willst du aber einen Rechteck- Querschnitt mit einem Umfang von 1,2 Metern.
1,20=2(b+h) h=0,60-b
Und der soll eine maximale Fläche haben daher ist die Zielfunktion
A=bh=b(0,6-b)

A'=0=b(-1)+1(0,6-b)=-2b+0,6

b=0,3 h=0,3 A=0,09

Der Querschnitt mit der größten Fläche ist also ein Quadrat.
Ist doch interessant, oder?


:-)

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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:51 Uhr, 22.03.2016

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Die Breite der Blechtafel ist 1,20m

Zum Kreis gebogen gibt das einen Umfang von 1,20m

U=2rΠ

1,20=2rΠ

0,6=rΠ

r=0,6Π

A=r2Π

A=(0,6Π)2Π0,1146m2

Somit ist der Luftdurchsatz noch größer als beim Quadrat.
Auch interessant.

mfG

Atlantik
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Roman-22

Roman-22

20:36 Uhr, 22.03.2016

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Na lustig!
Stephan4 kanns nicht lassen, das Beispiel komplett vorzurechnen, selbst wenn der Thread schon längst abgehakt ist und Atlantik lässt sich auch nicht lumpen und rechnet halt wie des öfteren einfach eine andere, ähnliche Aufgabe.
Ich denke, dass man das im Englischen "beating a dead horse" nennt, was ihr da treibt.

Dass der Kreis jene Figur ist, die bei gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt hat, mag interessant sein, ist aber jedenfalls allgemein bekannt.
Diese Behauptung aber allgemein zu beweisen, dass wäre dann wirklich interessant ;-)