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Extremwertaufgaben mit nebenbedingung

Schüler Fachoberschulen,

Tags: Differentialrechnung, Extremwertaufgabe, Extremwertaufgaben, Nebenbedingung

Titomax aktiv_icon

18:14 Uhr, 18.09.2011

Ich bekomme diese Aufgaben einfach nicht gelöst...kann hier jemand helfen?

1. Oberflächenformel
Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenen Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn

2 m^{2}

Material je Regentonne zur Verfügung steht?

Lösung:

r = \frac{200}{3} Π

Wurzel

3 Π = h

V = \frac{8000000}{9}

Wurzel

3 Π

2. Strahlensatz
Ein Stück Spiegelglas hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten

50

cm bzw.

80

cm lang sind. Durch zwei Schnitte mit einem Glasschneider soll ein rechteckiger Spiegel entstehen.
Wie lang sind die Schnittkanten

x

und

y

zu wählen, damit die Spiegelfläche maximal wird?
Hinweis: Die Beziehung zwischen

x

und

y

(Nebenbedingung) erhält man mithilfe des Strahlensatzes.

Lösung:

x = 25

y = 40

A = 1000

Ich bin mal gespannt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

funke_61 aktiv_icon

10:34 Uhr, 19.09.2011

1)

Annahme: Die Regentonne soll ein oben offener Zylinder mit Radius

r

und Höhe

h

sein.

O =

Kreisgrundfläche

+

Zylindermantel

O = r^{2} π + 2 r π h

lt. Aufgabenstellung soll die Regentonne eine Oberfläche von

2 m^{2}

haben:

2 = r^{2} π + 2 r π h

(Nebenbedingung)
umgestellt nach

h :

h = \frac{2 - r^{2} π}{2 r π}

Hauptbedingung ist das Zylindervolumen

V = r^{2} π h

Nebenbedingung einsetzen, vereinfachen ergibt zur Kontrolle:

V (r) = r - \frac{π}{2} r^{3}

Ableiten, Nullsetzen usw.
ergibt schließlich

r = + \sqrt{\frac{2}{3 π}}

Einheit

m (r = - \sqrt{\frac{2}{3 π}}

ist keine geometrische Lösung)

Dieses

r

in die umgestellte Nebenbedingung eingesetzt ergibt

h = \sqrt{\frac{2}{3 π}} m

Ergebnisse sind damit also:

r = h =

ca.

0,4607 m

V = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2}{3 π}} m^{3}

V =

ca.

0,3071 m^{3}

funke_61 aktiv_icon

11:21 Uhr, 19.09.2011

2)

A = x \cdot y

Hauptbedingung

Korrigierte Nebenbedingung aus Strahlensatz:

50 : x = 80 : (80 - y)

\frac{50}{x} = \frac{80}{80 - y}

y = 80 - \frac{8}{5} \cdot x

eingesetzt in Hauptbedingung:

O = x \cdot (80 - \frac{8}{5} \cdot x)

O (x) = 80 x - \frac{8}{5} x^{2}

Jetzt sollte die Zielfunktion stimmen ;-)

Dann wieder Ableiten, Nullsetzten ergibt

x = 25

eingesetzt in Nebenbedingung aus Strahlensatz

y = 80 - \frac{8}{5} \cdot 25 = 80 - 40 = 40

;-)

Titomax aktiv_icon

11:38 Uhr, 19.09.2011

Okay ich hatte bei der Nebenbedingung warum auch immer bodenfläche und mantelfläche nicht mit einem

+

zusammengerechnet

Vielen Dank für die Hilfe

Weiß jemand rat bei der 2. Aufgabe?

funke_61 aktiv_icon

12:19 Uhr, 19.09.2011

habe eben oben mit der korrigierten Nebenbedingung auch die

2)

lösen können. Warscheinlich war mein Blutzuckerspiegel schon zu tief gesunken

. .

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