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Folge stetiger Fkt., gleichmäßig konvergieren

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

iri18 aktiv_icon

13:37 Uhr, 28.05.2012

Hallo.

Es sei

f_{n} : D \to ℂ

eine Folge stetiger Funktionen. Ich soll zeigen:

Wenn die Folge

(f_{n})

gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion

f : D \to ℂ

konvergiert, dann ist

f

stetig.

Gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge

f_{n} : D \to ℂ

geegn die Grenzfunktion

f

haben wir folgendermaßen definiert:

\forall ε > 0 : \exists N \in ℕ : \forall x \in D

und

\forall n \geq N

gilt

| f_{n} (x) - f (x) | < ε

(das heißt

N

kann unabhängig von

x

gewählt werden.

Ich weiß leider nicht genau wie ich das jetzt zeigen soll,... kann wer helfen? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

14:16 Uhr, 28.05.2012

Hallo,

nimm dir erstmal ein festes

x_{0} \in D

und zeige, dass

f

stetig in

x_{0}

ist.
Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt ja zunächst folgende Aussage:
Sei

ε > 0

\exists m \in ℕ : | f_{m} (x) - f (x) | < \frac{ε}{3}

für alle

x \in D

Nun ist

f_{m}

laut Voraussetzung stetig in

x_{0}

. Versuch jetzt mal mit dem

ε - δ - K r i t e r i u m

eine weitere Aussage zu kreieren (benutze wieder

\frac{ε}{3})

Zum Schluss wendest du dann das

ε - δ - K r i t e r i u m

auf die Grenzfunktion

f

an. Hier hilft dann folgender Trick:

| f (x) - f (x_{0}) | = | f (x) - f_{m} (x) + f_{m} (x) - f_{m} (x_{0}) + f_{m} (x_{0}) - f (x_{0}) | \leq | f (x) - f_{m} (x) | + | f_{m} (x) - f_{m} (x_{0}) | + | f_{m} (x_{0}) - f (x_{0}) |

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