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Frage zu Summe mit Binomialkoeffizienten

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

 
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013tja

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22:36 Uhr, 22.10.2015

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Hallo miteinander,

Ich will beweisen, dass A(n):∑k=0n(n über k)⋅ cos(π/4+k*π) =0 für nεℕ
nachdem A(1): stimmt will ich von A(n) auf A(n+1) schliessen.

wenn ich jetzt als obere Grenze der Summe n+1 setze (∑k=0n+1), wird dann der Binomialkoeffizient in der Summe zu (n+1 über k)? Falls nicht, stände ja im letzten Glied (n über n+1). k darf aber nie größer n werden.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Roman-22

Roman-22

05:18 Uhr, 23.10.2015

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> wird dann der Binomialkoeffizient in der Summe zu (n+1 über k)?
Ja. Jedes auftretende "n" muss durch "n+1" ersetzt werden.

Du kannst ja cos(π4+k⋅π)=22⋅(-1)k ersetzen und den konstanten Faktor 22 vor das Summenzeichen ziehen, dann gehts möglicherweise einfacher.
Muss es unbedingt vollständige Induktion sein? Ich könnte mir vorstellen, dass es direkt auch geht, wenn man zwischen geraden und ungeraden "n" unterscheidet.

n gerade:
n=0:+1≠0 hier stimmt die Aussage nicht, aber 0∈ℕ! Also gilt die Aussage nur für n∈N⋆, nicht für n∈ℕ.
n=2:+1-2+1=0
n=4:+1-4+6-4+1=0
n=6:+1-6+15-20+15-6+1=0

n ungerade:
n=1:+1-1=0
n=3:+1-3+4-4+3-1=0
n=5:+1-5+10-10+5-1=0

Der ungerade Fall ist aufgrund der Symmetrie sicher einfacher unter Verwendung von (nk)=(nn-k) zu zeigen.


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