Funktion(Halbgruppe, Monoid)

Hallo!

Sei X eine nichtleere Menge. Welche der folgenden Mengen bilden mit der Verknüpfung von Funktionen als Operation eine Halbgruppe bzw. ein Monoid?

Dies macht mir Probleme: {f:X->X| f surjektiv}

ICh habe es geschafft zu zeigen, dass die Funktion surjektiv ist.

Weiters konnte ich die Assozativität zeigen, womit wir schon mal ne Halbgruppe haben. (Bei der ass. muss ich die surj. nicht weiter berücksichtigen? dies müsste reichen[1])

Aber wie zeige, dass es sich um ein Monoid handelt?

UND

wie löse ich das ganze, wenn {f:X->X| f nicht surjektiv}

lg

[1] de.wikipedia.org/wiki/Komposition_%28Mathematik%29#Eigenschaften

hi!

danke für deine ausführliche Antwort!

allerding ist mir eines unklar. wo genau verwendest du die surjektivität?

bzw. warum würde es sich im falle von einer nicht surjektiven abbildung um kein monoid handeln?

lg

hi!

okay, jetzt wirds schon mal klarer, also muss ich doch zeigen, dass zummindest die hintereinanderausführung surj. ist, denn diese ist ja nur für eine funktion vorausgesetzt.

Aber nehmen wir jetzt eben an, dass das ganze nicht surj. ist. gut dann ist die komposition nicht surj., aber die Ass. gilt doch?

ein neutrales element gibt es auch also wäre auch Punkt iv) erfüllt.

also würde doch wieder folgen, dass es sich um ein Monoid(Halbgruppe + neut. Element) und um eine Halbgruppe(nicht leere Menge + Ass.) handelt?

lg

danke, ist kein Stress ;).

hi!

Also ich habe die abgeschlossenheit so gezeigt:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \forall \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\exists \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\wedge \forall \mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\exists \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \mathrm{.................................} \\ \forall \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\exists \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:(\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\circ \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)=\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} \end{gathered}$$

ja und f nach eben analog...

hmm, dass verwirrt mich etwas. die abgeschlossenheit ist doch nicht erfüllt?

lg

Sorry hab mich vl. etwas blöd ausgedrückt. Die Frage bezog sich auf deinen teil, wo du schriebst, dass es sich auch bei NICHT surjektivität um ein Monoid bzw. eine Halbgruppe handelt. Wobei ich hier das ergebnis erzielt habe, das die Menge bzw. die Abbildung in diesem fall nicht abgeschlossen ist. Und es scih so nicht um ein Monoid bzw. eine Halbgruppe handeln kann.

lg

"f nach g bzw. g nach f immer bildbar, da alles Abb. von X nach X sind, also auch die Kompositionen, die demnach auch Elemente von M sind."

rein intuitiv ist dies klar nur wie zeige ich dies formal so wie zuvor beim fall der surjektivität ? :)

lg