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Funktionenschar

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktionenschar

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22:11 Uhr, 16.06.2014

Ich arbeite an eine Frage und habe dabei gewisse Probleme. Es geht um Funktionscharen.
Diese Frage wurde einmal halbwegs bearbeitet, aber es ist immer noch nicht klar
Die Frage:
Ein Seil für eine Seilbahn soll zwischen zwei Masten aufgehängt werden. Die Höhe

(\in

Metern) des durchhängenden Seiles über dem Meeresspiegel wird durch die Funktion fc mit
fc(x)= (1+c)/(1500²)

\cdot x^{3} -

+ 500

beschrieben.

(0 = < x = < 1500) (c \geq - 1)

a)

Untersuche die gemeinsamen Punkte aller Kurven der Schar. In welcher Höhe über dem Meeresspiegel befinden sich die Aufhängepunkte an den Masten

b)

Für welchen Parameter

c

würde das zugehörige Seil bis auf

400

Meter über dem Meeresspiegel durchhängen?

c)

Wie viele Meter hängt das Seil für

c = 1

bzw.

c = 0,5

relativ zu einem straff zwischen den Masten gehängten Seil maximal durch? Für welchen Parameter

c

würde das Seil maximal

40

Meter durchhängen?

d)

Die Vorschriften besagen, dass die prozentuale Steigung der Seilbahn nirgendwo größer als

400 %

sein darf. Wie groß darf der Parameter

c

also maximal sein?

Für a kommt raus

500

und

1500,

aber das habe ich einfach durch Einsetzen von Zahlen rausgefunden, aber kann es nicht mathematisch beweisen.
Dasselbe gilt für

b

. Das Ergebnis ist

500

und

1500,

aber wieder kann ich es nicht beweisen.
Für

c :

Hier kann ich zwei Gleichungen aufstellen:
f(x)=(1+c)*x^3/1500−c*x+500=400

f (x) = (1 + c) \cdot \frac{x^{2}}{500} - c = 0

Aber dann könnte ich nicht auf

c

schließen.
Genau das selbe Problem hatte ich auch für

d

und

e

.
Kann mir jemand helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

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22:55 Uhr, 16.06.2014

Komplettlösung hier abgreifen ?
http//www.gute-mathe-fragen.de/129256/funktionenschar-begseilbahn

Ma-Ma aktiv_icon

23:18 Uhr, 16.06.2014

a)

Also ich bekomme 0 und

1500

raus.

Bist Du bereit, hier mitzuarbeiten ?

MathStudent aktiv_icon

23:20 Uhr, 16.06.2014

Ja,

c

≥ 1

Ma-Ma aktiv_icon

23:26 Uhr, 16.06.2014

NA, was nun

c \geq - 1

oder

c \geq 1

?

Bist Du bereit mitzuarbeiten ?

MathStudent aktiv_icon

23:30 Uhr, 16.06.2014

Verzeihung. c≥

- 1

Ja, klar, bin ich bereit.

Ruetli

23:31 Uhr, 16.06.2014

Bei

(a)

gibt nix zu beweisen , höchstens mitteilen, dass die Masten am Punkt

x = 0

und Punkt

x = 1500

vermutet wurden und das eingesetzt wurde.
gemeinsame Punkte der Schar sind die Endpunkte.

zu

(b)

Schon mal was von Kurvendiskussion gehört? Ganzrationale Funktion vom Grad 3 (kubisches Polynom) , analyisch das Minimum bestimmen (hängt vom Parameter

c

ab) und dann

c

so wählen dass das Minimum genau

= 400

ist.

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23:35 Uhr, 16.06.2014

Nein, Kurvendiskussion ist ein neues Thema für mich. Werde gleich nachschlagen, aber falls du irgendwelche Quellen oder Erklärungen geben könntest, wäre ich sehr dankbar.

Ma-Ma aktiv_icon

23:35 Uhr, 16.06.2014

Okidoki, dann geht´s los

. .

.

zu

a)

Gesucht gemeinsame Punkte der Funktionsscharen.

Parameter der 1.Funktionsschar ist

c

.
Es gibt weitere Funktionsscharen mit anderen Parametern. Nehmen wir den Parameter

a

.
Beide Funktionsscharen sollen gemeinsasme Punkte haben.

f_{c} (x) = f_{a} (x)

Setze in der zweiten Funktionsschar für

c

das a ein ein.
Gleichsetzen und auflösen nach

x

.

Das war´s für Teilaufgabe

a)

.

LG Ma-Ma

Stephan4

23:35 Uhr, 16.06.2014

Hier was zum Spielen:

http://www.mathopenref.com/graphfunctions.html?fx=(1+c)/(1500^2)*x^3-c*x+500&sg=f&sh=f&xh=1800&xl=-100&yh=2200&yl=0&ch=2&cl=-2&c=1

LG, Stephan

Ma-Ma aktiv_icon

23:38 Uhr, 16.06.2014

@Stephan: Nett gemeint, in der Klausur stehen diese "Spielereien" jedoch nicht zur Verfügung, da muss nunmal gerechnet werden

. .

.
LG Ma-Ma

MathStudent aktiv_icon

23:39 Uhr, 16.06.2014

Danke Ma-Ma, ich bin gerade dabei, deine Lösung auszurechnen

Ruetli

23:40 Uhr, 16.06.2014

@ Mathstudent , wenn du noch nie was von Kuverndiskussion,
Extremalstellenbestimmung etc gehört hast, dann ist das hier völlig sinnlos.
Daa kannste nicht mal eben nachschlagen,
Darf ich mal fragen welche Klasse du besuchst?

Das oben ist eine typische Abiaufgabe früher für Grundkurs heute

G 8

.
Setzt einfach Analysis voraus.
auch bei (c)

-

Differenzfunktion zur Gerade zwischen den Masten, Extrema bestimmen usw.

MathStudent aktiv_icon

23:46 Uhr, 16.06.2014

@Ma-Ma
Wenn ich zwei Gleichungen mit

c

und a aufstelle, dann habe ich, falls ich es richtig verstanden habe, zwei Gleichungen mit drei Unbekannte

a, c, x

. Dann kann ich ja nicht

x

rauskriegen?
Die Gleichung würde so aussehen:

100 + \frac{c}{1500^{2}} \cdot x^{3} -

+ 500 = 100 + \frac{a}{1500^{2}} \cdot x^{3} -

+ 500

Ma-Ma aktiv_icon

23:48 Uhr, 16.06.2014

@Ruetli: Das Einmischen in laufende Threads ist sehr unhöflich.

"Bei

(a)

gibt nix zu beweisen , höchstens mitteilen, dass die Masten am Punkt

x = 0

und Punkt

x = 1500

vermutet wurden und das eingesetzt wurde."

Wir vermuten hier nix, wir RECHNEN !

LG Ma-Ma

Ma-Ma aktiv_icon

23:53 Uhr, 16.06.2014

@MathStudent: a und

c

kürzen sich im Endeffekt raus. Es verbleibt nur noch

x . .

\frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{3} - c x + 500 = \frac{1 + a}{1500^{2}} \cdot x^{3} - a x + 500

Erster Schritt: minus

500

Zweiter Schritt: mal

1500^{2}

Ruetli

23:55 Uhr, 16.06.2014

@Ma-Ma
Eimischen unhöflich ? Wass soll denn der Quark. Hier kann jeder in die Threads schreiben und beitragen.
Immerhin hab ich schon mal auf dein komisches Oberlehrergetue mit dem

c

verzichtet.

Und dass die Masten an den Endpunkten stehen wird nicht explizit gesagt in der Aufgabenstellung, es ist auch keine Zeichnung mit Koordinaten dabei wie

z . B

. hier
http//www.hamburg.de/contentblob/3837044/data/pdf-lernaufgaben-abitur-analysis.pdf

Also schreibe ich es dazu als Annahme damit man die Rechnung nachvollziehen kann.
Und mehr als einsetzen der Endpunkte kannst du auch nicht.
Was soll also die Anmache?

Du siehst im übrigen auch schon an den Rückfragen dass der Mathestudent gar nicht die
Voraussetzungen für das Verständnis die Lösung hat. Du kannst ihm das also vorrechnen, aber was bringt euch das?

Echt wirr hier. :-)

MathStudent aktiv_icon

00:00 Uhr, 17.06.2014

Danke @Ma-Ma für die Geduld. Können wir zu

b

gehen.

Ma-Ma aktiv_icon

00:05 Uhr, 17.06.2014

@Ruetli: Dein Name sagt alles

. .

. Nettiquette ist sicher ein Fremdwort für Dich, kann´s Dir nicht verübeln ..

Ich werde MathStudent auch nichts vorrechnen, das kann er nämlich selber! Braucht nur einen kleinen Anschubser

. .

.

Also bitte, halte Dich raus. Vielen Dank!

Ma-Ma aktiv_icon

00:08 Uhr, 17.06.2014

@MathStudent:

zu

a)

Zeige bitte den letzten oder vorletzen Schritt.
Ich will sehen, ob Du die Gleichung richtig aufgelöst hast.

Falls ein Problem dabei, so SAGE es !

LG Ma-Ma

MathStudent aktiv_icon

00:13 Uhr, 17.06.2014

Ich habe es bis hier ausgerechnet:

(1 + c) x^{3} - (1 + a) x^{3} - 1500^{2}

*cx

+ 1500^{2}

*ax

= 0

hier kann man

x

ausklammern und daraus folgt, dass eine Lösung

x = 0

ist.
Aber die zweite Lösung, wo

x = 2000

ist, könnte ich noch nicht ausrechnen.

Ma-Ma aktiv_icon

00:24 Uhr, 17.06.2014

Bis dahin

. .

. SUPER !

x

ausklammern

\to

Perfekt !

x = 0

passt.

Wenn mindestens 1 Faktor NULL, so ist das Produkt =NULL.

0 = x \cdot [(1 + c) \cdot x^{2} - (1 + a) \cdot x^{2} - (1500^{2} \cdot c) + (1500^{2} \cdot a)]

- - - - - - - - - -

Jetzt schauen wir uns die eckige KLammer an.

0 = (1 + c) \cdot x^{2} - (1 + a) \cdot x^{2} - (1500^{2} \cdot c) + (1500^{2} \cdot a)

- - - - - - -

Ich klammere

x^{2}

aus und ebenso

1500^{2}

0 = x^{2} \cdot [(1 + c) - (1 + a)] + 1500^{2} \cdot (a - c)

Kannst Du das nachvollziehen ?

MathStudent aktiv_icon

00:30 Uhr, 17.06.2014

x^{2} (c - a) + 1500^{2} \cdot a - 1500^{2} \cdot c = 0

x^{2} (c - a) - 1500^{2} (c - a) = 0

x^{2} - 1500^{2} = 0

x^{2} = 1500^{2}

x = 1500

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00:33 Uhr, 17.06.2014

JA, ich will, dass Du es verstehst und bei Deiner nächsten Aufgabe selber kannst !

Nächster schritt, die eckige Klammer auflösen

. .

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00:36 Uhr, 17.06.2014

x^{2}

*(c−a)+

1500^{2}

*a−

1500^{2} \cdot c = 0

x^{2}

*(c−a)−

1500^{2}

(c−a)=0

x^{2}

−

1500^{2} = 0

x^{2} = 1500^{2}

x = 1500

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00:37 Uhr, 17.06.2014

0 = x^{2} \cdot [1 + c - 1 - a] + 1500^{2} (a - c)

0 = x^{2} \cdot (c - a) + 1500^{2} (a - c)

0 = x^{2} \cdot (c - a) + 1500^{2} \cdot (- 1) \cdot (c - a)

0 = x^{2} \cdot (c - a) - 1500^{2} (c - a)

Jetzt durch

(c - a)

dividieren.

0 = x^{2} - 1500^{2}

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00:39 Uhr, 17.06.2014

Genauso habe ich es ausgerechnet. Danke dir nochmals

Ma-Ma aktiv_icon

00:42 Uhr, 17.06.2014

Jepp, sieht gut aus.

Beachte, dass

x^{2} = 1500^{2}

Wurzel ziehen auf beiden Seiten.

x = \pm 1500

x \geq 0,

kommt nur

x = 1500

in Frage.

Das wäre rechnerische Lösung zu

a)

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich schreibe gleich noch was zu

b)

. Kannst dies ja morgen lösen.
LG Ma-Ma

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00:46 Uhr, 17.06.2014

Für

b

haben wir zwei Gleichungen:
1.

\frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅x^3 − cx

+ 500 = 400

3 \frac{(1 + c)}{1500^{2}}

⋅x^2

- c = 0

Jetzt muss ich eben für

c

rechnen, aber gleichzeitig irgendwie den

x

wegbekommen.

Ma-Ma aktiv_icon

00:49 Uhr, 17.06.2014

b)

Für welchen Parameter

c

würde das zugehörige Seil bis auf

400

Meter über dem Meeresspiegel durchhängen?

Hier handelt es sich um einen Tiefpunkt, dessen y-Wert

= 400

sein soll.

1)

Berechne, bei welchem x-Wert ein Tiefpunkt vorliegt.

2)

Nimm

f (x),

also die Ausgangsgleichung und setze für den y-Wert, also

f (x) = 400

ein.

LG Ma-Ma

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01:15 Uhr, 17.06.2014

Ich habe jetzt diese zwei Gleichungen:
1.

\frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

x^{3}

− cx

+ 500 = 400

3 \frac{(1 + c)}{1500^{2}}

⋅

x^{2} - c = 0

Ich rechne nach

x

auf:

x^{2} = \frac{1500^{2} c}{3 \cdot (1 + c)}

x = \sqrt{\frac{1500^{2} c}{3 \cdot (1 + c)}} = 1500 \cdot \sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}}

Jetzt setze ich es in der ersten Gleichung ein:

\frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

1500^{3} \cdot {\sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}}}^{3}

−

c \cdot 1500 \cdot \sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}} + 100 = 0

\frac{1500 c}{3} \cdot \sqrt{(\frac{c}{3 (1 + c)})}

−

1500 c \cdot \sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}} + 100 = 0

−

1000 c \cdot \sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}} = - 100

c \cdot \sqrt{\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}} = \frac{1}{10}

Ich muss für

c

ausrechnen.
Ist der Rechenweg bis jetzt korrekt? Kannst du mir ein Rat geben wie ich weiter rechnen soll?

Ma-Ma aktiv_icon

01:20 Uhr, 17.06.2014

Siehe mein Post um

0 : 49

Uhr.

Berechne, wo

x

einen Tiefpunkt hat.

Ich bin heute abend wieder online.
LG Ma-Ma

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01:26 Uhr, 17.06.2014

Aber dieser Tiefpunkt hängt ja von

c

ab.
Dazu rechnen wir die Nullstelle der Ableitung:

3 \frac{(1 + c)}{1500^{2}}

⋅

x^{2} - c = 0

Da hat

x

für jeden

c

einen anderen Tiefpunkt und wir brauchen den für

f (x) = 400

Danke nochmals. Ich werde bis morgen abend nochmal versuchen.

Ma-Ma aktiv_icon

21:38 Uhr, 17.06.2014

Dein Post von

1 : 15

Uhr.

"Ich rechne nach

x

auf ..."
Ja, ein Extremwert liegt bei

x_{E} = \frac{1500}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{\frac{c}{c + 1}}

Und ja,

x_{E}

ist von

c

abhängig.

- - - - - - -

Ich prüfe jetzt das Einsetzen in die erste Gleichung

. .

f (x_{E}) = 400

Ma-Ma aktiv_icon

21:54 Uhr, 17.06.2014

Ja, sieht gut aus.

Jetzt QUADRIEREN.

c^{2} \cdot (\frac{c}{3 \cdot (1 + c)}) = \frac{1}{100}

\frac{c^{3}}{1 + c} = \frac{3}{100}

Auflösen, dann

0 = ...

Ma-Ma aktiv_icon

21:56 Uhr, 17.06.2014

Graphen mit

c = 0, c = 1

und

c = 0,35

MathStudent aktiv_icon

22:02 Uhr, 17.06.2014

Es gibt:

100 c^{3} - 3 c - 3 = 0

Nur wie kann ich jetzt

c

ausrechnen?

Ma-Ma aktiv_icon

22:08 Uhr, 17.06.2014

Ich habe durch

100

dividiert und dann die 1. Nullstelle geraten.
Oder

\to

Näherungsverfahren Deiner Wahl anwenden.

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22:11 Uhr, 17.06.2014

Also mit rechnen gibt es für diese Gleichung dritten Grades keinen Weg. Man muss einfach verschiedene Zahlen auswählen und sich der Lösung annähern?

MathStudent aktiv_icon

22:18 Uhr, 17.06.2014

Wobei die Lösung für

c

ungefähr bei

0,343

liegt?

Ma-Ma aktiv_icon

22:22 Uhr, 17.06.2014

Mein geratenes

c

findest Du in der Skizze (*schmunzel*)

. .

Ma-Ma aktiv_icon

22:27 Uhr, 17.06.2014

JA, passt. Ich hatte gerundet auf

c = 0,35

.
Dein Wert könnte genauer sein, hab´s nicht nachgerechnet.

Mach mal die Probe.
Könntest ja auch

x_{E}

ausrechnen und dann zusammen mit

c

"in"

f (x)

einsetzen.
Müsste dann

f (x_{E}) = 400

rauskommen.

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22:30 Uhr, 17.06.2014

Ja habe das gemacht. Passt ungefähr, muss noch ein Bisschen an der Zahl arbeiten.
Können wir zu Aufgabe

c

gehen?

Ma-Ma aktiv_icon

22:38 Uhr, 17.06.2014

c)

Wenn das Seil straff gespannt ist, hast Du eine Gerade zwischen den beiden Aufhängepunkten.

\to

Geradengleichung aufstellen

g (x) = ...

. ?

c = 1

"in"

f (x)

einsetzen und Funktionsgleichung berechnen.

f_{1} (x) = ...

. ?

- - - - - - - - - - - - - - -

Differenzfunktion bilden.

h (x) = g (x) - f_{1} (x)

Extremwert der Differenzfunktion bestimmen.
(Dieser Extremwert gibt Dir die Stellen

x

an, wo die Differenzen der beiden Funktion minimal/maximal sind.
Uns interessiert jedoch nur ein bestimmtes Intervall

(x

von 0 bis

1500)

.

Fang mal an, kannst gerne Zwischenergebnisse posten.
LG Ma-Ma

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23:10 Uhr, 17.06.2014

Ich habe es so ausgerechnet.
1. Die Gleichung für den straff gespannten Seil:

g (x) = x + 500

2. Jetzt muss für

c = 1

der Tiefpunkt ausgerechnet werden:
f´(x)

= 3 \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} - c = 0

f´(x)

= 3 \frac{1 + 1}{1500^{2}} \cdot x^{2} - 1 = 0

x = 612,4

nun in

f (x)

mit

c = 1

einsetzen:

f (612,4) = 91,7

Somit haben wir den Tiefpunkt für

c = 1

Jetzt die Höhe für gestreckten Seil ausrechnen:

g (612,4) = 1112,4

Differenz:

1020,7

Nun muss dasselbe für

c = - 0,5

ausgerechnet werden.
Ist alles richtig?

Ma-Ma aktiv_icon

23:16 Uhr, 17.06.2014

Hast Du schon Zwischenergebnisse zum Vergleichen ?

g (x) = . .

. ?

f_{1} (x) = . .

. ?

h (x) = . .

. ?

MathStudent aktiv_icon

23:18 Uhr, 17.06.2014

Da oben habe ich ja die Zwischenschritte geschrieben.

Ma-Ma aktiv_icon

23:25 Uhr, 17.06.2014

Die Geradengleichung stimmt.

g (x) = x + 500

Der Rest passt nicht.
Es ist NICHT gefragt, wie groß der Abstand der beiden Graphen am Tiefpunkt von

f_{1} (x)

ist !

Um den

min

/ max

. Abstand beider Graphen zu ermitteln, benötigst Du die DIFFERENZFUNKTION.

h (x) = g (x) - f_{1} (x)

Das Kochrezept hatte ich Dir oben aber bereits geschrieben!
(Wir bearbeiten hier aber nur

c = 1,

für

c = 0,5

kannst Du das später alleine nacharbeiten.)

f_{1} (x) = . .

. ?

h (x) = . .

. ?

MathStudent aktiv_icon

23:34 Uhr, 17.06.2014

Ja, verstehe, richtig.
Also wäre es

f (x) = \frac{2}{1500^{2}} \cdot x^{3} - x + 500

h (x) = f (x) - g (x) = \frac{2}{1500^{2}} \cdot x^{3} - x + 500 - x - 500

h (x) = \frac{2}{1500^{2}} \cdot x^{3} - 2 x

Nun muss der Höhepunkt ausgerechnet werden:
h´(x)

= \frac{6}{1500^{2}} \cdot x^{2} - 2

x = 866

Richtig?

Ma-Ma aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.06.2014

Sieht schon besser aus.
Du hast zwar bei

h (x)

die Funktionen vertauscht, aber das macht GARNIX, es ist egal, ob

f (x) - g (x)

oder

g (x) - f (x)

h (x)

ableiten, Null setzen und Extremstellen ausrechen. Passt.
(Beim Wurzelziehen haben wir immer einen Plus- und einen Minuswert, uns interessiert aber nur der x-Wert zwischen 0 und

1500

x_{E} = \frac{1500}{\sqrt{3}} = 866,03

passt.

Nun setze

x_{E}

"in"

h (x)

ein und berechne

h (x_{E})

.
Dieser Wert ist der minimale / maximale Abstand zwischen den Graphen.

(Anhand der 2.Ableitung

h'' (x_{E})

könntest Du ermitteln, ob Min. oder Max.
Sparen wir uns aus Zeitgründen, ja, es ist ein Maximum, also der

max

. Abstand zwischen den Graphen. )

h (x_{E}) = . .

. ?

MathStudent aktiv_icon

23:58 Uhr, 17.06.2014

h (866) = \frac{2}{1500^{2}} \cdot 866^{3} - 2 \cdot 866

musste zwar umgekehrt sein und dann wäre das Endergebnis:

1154,7

Meter

Ma-Ma aktiv_icon

00:07 Uhr, 18.06.2014

Ja. hab ich auch raus.

x_{E} = \frac{1500}{\sqrt{3}}

h (x_{E}) = \frac{2000}{\sqrt{3}} = 1154,7

Du siehst, dass dieser Wert größer ist als Dein ursprünglicher Abstand beim Tiefpunkt

. .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

So, magst Du noch den Ansatz zu

c)

zweiter Teil ?

MathStudent aktiv_icon

00:09 Uhr, 18.06.2014

Ja, danke. Der Teil mit

40

Meter.

Ma-Ma aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.06.2014

Wir arbeiten wieder mit der Differenzfunktion.

g (x) = x + 500

f_{C} (x) = . .

. Deine Ausgangfunktion

. .

.

Differenzfunktion

h (x) = g (x) - f_{c} (x)

- - - - - - - - - - - - - - -

Ableiten

\to h' (x) = ...

. ?

- - - - - - - - - - - - - - - -

Extremwerte suchen

\to h' (x) = 0

Zum Vergleich:

x_{E} = \frac{1500}{\sqrt{3}}

- - - - - - - - - - - - - - -

Soll

h (x_{E}) = 40

Auflösen nach

c

.

Zum Vergleich: Mein

c = \frac{\sqrt{3}}{25} - 1

(Rechne selber nach, ich könnte auch Schusselfehler drin haben.)

Probe machen

. .

.

Viel Spass !

MathStudent aktiv_icon

00:28 Uhr, 18.06.2014

Ich habs. OK

Ma-Ma aktiv_icon

00:30 Uhr, 18.06.2014

Achtung: In der Skizze ist

h (x)

die Funktionsgleichung mit

c = - 0,931

(also NICHT die Differenzfunktion) !

Ma-Ma aktiv_icon

00:33 Uhr, 18.06.2014

Beim ABSTAND zweier Kurven arbeitet man mit der DIFFERENZFUNKTION.

Für minimalen/maximalen Abstand gilt:

h' (x) = 0

(Wo bei

f (x)

oder

g (x)

oder sonstewas die Extremwerte liegen ist NICHT relevant!)

MathStudent aktiv_icon

00:53 Uhr, 18.06.2014

g (x) = x + 500

f (x) = \frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

x^{3}

− cx

+ 500

h (x) = x - \frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

x^{3} +

cx
h´(x)

= 1 - 3 \cdot \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} + c

1 - 3 \cdot \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} + c = 0

x - \frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

x^{3} +

= 40

1 - 3 \cdot \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} + c = x - \frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

x^{3} +

- 40

Ist es bis dahin richtig?

Ma-Ma aktiv_icon

01:04 Uhr, 18.06.2014

Hmmm, das ist mir ein bissl zu viel Geraffel

. .

. Ich setze bei

h (x)

nochmal auf und fasse die

x

zusammen.

h (x) = - \frac{(1 + c)}{1500^{2}} \cdot x^{3} + x (1 + c)

h' (x) = - 3 \frac{(1 + c)}{1500^{2}} \cdot x^{2} + (1 + c)

Extremwert

(x_{E})

berechnen.

h' (x) = 0

0 = - 3 \frac{(1 + c)}{1500^{2}} \cdot x^{2} + (1 + c)

Jetzt berechne zuerst

x_{E}

MathStudent aktiv_icon

01:22 Uhr, 18.06.2014

Da haben wir für

x = 1500 \cdot \sqrt{3} = 866

MathStudent aktiv_icon

01:22 Uhr, 18.06.2014

Da haben wir für

x = 500 \cdot \sqrt{3} = 866

(Natürlich

+

und

-,

aber bei uns kann es nur

+

sein).

Ma-Ma aktiv_icon

01:22 Uhr, 18.06.2014

Ich rechne mal parallel zu Dir.

3 \cdot \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} = (1 + c)

Dividiert durch

(1 + c)

\frac{3}{1500^{2}} \cdot x^{2} = 1

x^{2} = \frac{1500^{2}}{3}

x = \pm \frac{1500}{\sqrt{3}}

Uns interessiert nur der positive Wert.

x_{E} = \frac{1500}{\sqrt{3}}

MathStudent aktiv_icon

01:26 Uhr, 18.06.2014

Nächster Schritt:

866 - \frac{1 + c}{1500^{2}}

⋅

866^{3} + c \cdot 866 = 40

Und nach

c

ausrechnen.

Ma-Ma aktiv_icon

01:26 Uhr, 18.06.2014

Gut, wir haben das Gleiche raus.

An dieser Stelle

x_{E}

soll der Abstand

40

sein.

h (x_{E}) = 40

Nun setze in

h (x)

das gefundene

x_{E}

ein

. .

. somit kannst Du

c

berechnen.

MathStudent aktiv_icon

01:34 Uhr, 18.06.2014

Falls ich es richtig ausgerechnet habe, kommt für

c :

- 0,93

raus.
Und ich habe es nachgeprüft, es ist richtig.

Ma-Ma aktiv_icon

01:38 Uhr, 18.06.2014

Schaue bitte mal auf meine Skizze von

00 : 30

Uhr (*schmunzel*)

MathStudent aktiv_icon

01:39 Uhr, 18.06.2014

Falls du es auch raus hast, können wir auch kurz über

d

sprechen. Ich verstehe nicht was er mit einer prozentualen Steigung von

400 %

meint.

MathStudent aktiv_icon

01:41 Uhr, 18.06.2014

Ja, ok. Danke dir. Also ist das Ergebnis richtig.

Ma-Ma aktiv_icon

01:42 Uhr, 18.06.2014

Nur ganz kurz zu

d) max

. Steigung

\to

uns interessiert wieder

f_{c} (x)

max

. Steigung

400 % \to m < 4 \to f' (x) < 4

Das sollten wir uns aber für morgen abend aufheben

. .

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01:45 Uhr, 18.06.2014

Ok, danke dir nochmals. Sehr nett von dir. Bis morgen abend und gute Nacht.

Ma-Ma aktiv_icon

19:50 Uhr, 18.06.2014

So, kommen wir zur Steigung.

Steigungsdreieck:

100 %

Steigung entsprechen

100

nach rechts und

100

nach oben,

m = 1

400 %

Steigung:

m = 4

Bevor wir rechnen, möchte ich, dass Du Dir zwei Skizzen machst.

1)

Zeichne das Koordinatensystem mit dem Seil (von

x = 0

bis

x = 1500)

und

c = 1

Muss nur ungefähr sein, also nicht supergenau.

2)

Zeichne direkt darunter ein Koordinatensystem mit der Steigungsfunktion

f_{1}' (x)

c = 1

Erläuterung dazu:
An die y-Achse kannst gerne

m

(Steigung) antragen, wähle von

- 1

bis 5.
Die x-Achse geht wieder von

x = 0

bis

1500

.

1.Ableitung

f' (x) =

Steigungsfunktion. Ich benenne um in

m (x)

f_{c}' (x) = m_{c} (x) = \frac{3 (1 + c)}{1500^{2}} \cdot x^{2} - c

(Du erkennst eine Parabelgleichung, allgemein

y = a x^{2} - b

. )

Zeichen diese Parabel für

c = 1

und

c = 0

. Zur Berechnung reichen die Werte für

x = 0

und

x = 1500

- - - - - - - - - - - - - - - -

Schaue Dir

m_{1} (x)

und

m_{0} (x)

an.
Welchen x-Wert sollten wir für die Betrachtung

m_{c} (x) < 4

näher untersuchen ?

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23:52 Uhr, 18.06.2014

Bei

c = 1,

ist der Wert ungefähr bei

1370

und bei

c = 0

ist der Wert ungefähr bei

1735

Unser Wert liegt ungefähr bei

c = 0.5

Das ist aber keine Rechnerei

Ma-Ma aktiv_icon

00:00 Uhr, 19.06.2014

Bei

c = 1,

ist der Wert ungefähr bei

1370

und bei

c = 0

ist der Wert ungefähr bei

1735

???????????????????????

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00:07 Uhr, 19.06.2014

c = 1

f´(x)

= \frac{6}{1500^{2}}

⋅

x^{2}

− 1
f´(1370)

= 4

c = 0

f´(x)

= \frac{3}{1500^{2}}

⋅

x^{2}

f´(1735)

= 4

c = 0,5

f´(x)

= \frac{4,5}{1500^{2}}

⋅

x^{2} - 0,5

f´(1500)

= 4

Ma-Ma aktiv_icon

00:15 Uhr, 19.06.2014

Du hast was Anderes gemacht als ich gemeint habe

...

1)

Hast Du Dir das Seil mit

c = 1

gezeichnet ?

2)

Koordinatensystem mit der Steigungsfunktion darunter.
Von Steigung

= 4

berechnen, habe ich NICHTS gesagt!

c = 0

und

x = 0, f_{0}' (x) = m_{0} (0) = 0

c = 0

und

x = 1500, f_{0} (1500) = m_{0} (1500) = 3

Nachvollziehbar?

MathStudent aktiv_icon

00:21 Uhr, 19.06.2014

Ja, vollkommen nachvollziehbar

Ma-Ma aktiv_icon

00:25 Uhr, 19.06.2014

Moment bitte, Skizze meinerseits folgt gleich

. .

Ma-Ma aktiv_icon

00:28 Uhr, 19.06.2014

Die Steigungsfunktionen mit

c = 0 \to m_{0} (x)

und

c = 1 \to m_{1} (x)

sollten so aussehen:

Ma-Ma aktiv_icon

00:30 Uhr, 19.06.2014

Auf welchen x-Wert sollten wir unser Augenmerk richten?
Ist der kritische x-Wert evtl.

x = 1500

MathStudent aktiv_icon

00:37 Uhr, 19.06.2014

Natürlich.
Wir brauchen den

c

Wert für f´(1500)

\leq 4

.
Unsere Funktion wäre somit:

3 \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot 1500^{2} - c = 4

c = 0,5

Ma-Ma aktiv_icon

00:45 Uhr, 19.06.2014

Fast richtig.

"d) Die Vorschriften besagen, dass die prozentuale Steigung der Seilbahn nirgendwo größer als

400 %

sein darf. "

f_{c}' (x) < 4

Ich bleibe jetzt mal bei

m (x) =

Steigungsfunktion

(= f' (x))

m_{c} (x) < 4

m_{c} (x) = 3 \cdot \frac{1 + c}{1500^{2}} \cdot x^{2} - c

Kritischer Wert bei

x = 1500

m_{c} (1500) < 4

Jetzt für

x = 1500

einsetzen und

c

berechnen.

3 \cdot \frac{(1 + c)}{1500^{2}} \cdot 1500^{2} - c < 4

Was erhälst Du für

c

c < ...

. ?

MathStudent aktiv_icon

00:45 Uhr, 19.06.2014

c < 0,5

Nun wäre es noch richtig, den Wendepunkt auszurechnen und falls es dann eine positive Steigung in der zweiten Ableitung gibt, wäre das dann die Lösung.

Ma-Ma aktiv_icon

00:54 Uhr, 19.06.2014

Halten wir erstmal fest:
Aus der Ableitungsfunktion

f_{c}' (x) < 4

ergibt sich:

c < 0,5

Die Ableitungsfunktion zeigt, wie groß die Steigungswerte sind.
Mit

c < 0,5

haben wir einen Parameter gefunden, wie sich das Seil mit weniger als

400 %

Steigung anbringen lässt. Fertig.

- - - - - - - - - - - - - - -

Du möchtest jetzt noch den Wendepunkt einbringen ?
Wendepunkt

f'' (x) = m' (x)

Wendepunkt somit Wert, wo die Steigungsfunktion Maximalwert/Minimalwert hat.
Wendepunkt zeigt, wo die Steigung am schnellsten zunimmt / abnimmt.
Ist das gefragt ?

Ma-Ma aktiv_icon

00:59 Uhr, 19.06.2014

Der Wendepunkt von

f_{c} (x)

ist übrigens bei

x = 0 . .

. bringt Dir das was ? Ist das gefragt ?

MathStudent aktiv_icon

01:17 Uhr, 19.06.2014

Nein, ich habe bemerkt dass es zwischen den zwei Höhen niemals in dem Interval einen Wendepunkt geben kann. Also macht es keinen Sinn.

Ma-Ma aktiv_icon

01:24 Uhr, 19.06.2014

Ja, richtig. Wendepunkt ist immer nur dann wichtig, wenn gezeigt werden soll, wo die Steigungsfunktion (bzw. Änderungsrate) ein Maximum/minimum hat, also wo sich die Steigung/Rate am schnellsten/langsamsten verändert.
Wirst Du in weiteren Aufgaben noch finden, HIER jedoch nicht relevant.

Wichtig für Dich, die Parabel der Steigungsfunktion verstehen und warum wir uns auf

x = 1500

konzentriert haben.

LG Ma-Ma

MathStudent aktiv_icon

01:27 Uhr, 19.06.2014

Ja, danke.
Hiermit hätten wir dann alle Aufgaben durch.
Ich wollte mich wirklich bedanken für deine Hilfe und auch für die Geduld.
Es war sehr nett und hilfreich.

Ma-Ma aktiv_icon

01:31 Uhr, 19.06.2014

Hat Spass gemacht mit Dir

. .

. wünsch Dir viel Erfolg weiterhin.
Gute Nacht. LG Ma-Ma

MathStudent aktiv_icon

01:33 Uhr, 19.06.2014

Danke dir nochmals und gute Nacht. :-)

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