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Garben und Isomorphismus

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Tags: Garben

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19:29 Uhr, 28.04.2024

Ich habe folgendes Setting:

ℱ

ℛ

Garben und

φ : ℱ (U) \to ℛ (U)

Morphismus von Garben und

φ_{x} : ℱ_{x} \to ℛ_{x}

Ismorphismus von Halmen. Wobei

U \subseteq X

offen, X topologischer Raum und

ℱ (U)

ℛ (U)

abelsche Gruppen.

Es wird gezeigt, dass wenn

φ_{x}

Ismorphismus

\Rightarrow

φ

Isomorphismus.
Dafür wird die Surjektivität von

φ

gezeigt:

Sei

t \in ℛ (U)

und

t_{p} \in ℛ_{x}

der zugehörige Keim.

φ_{x}

surj.

\Rightarrow

\exists s_{x} \in ℱ (U)

sodass

φ_{x} (s_{x}) = t_{x}

.
Nun sei

s (x)

repräsentant von

s_{x}

. Also gibt es ein offenes

W_{x} \subseteq U

sodass

s (x) \in W_{x}

und

s_{x}

der Keim von

s (x)

ist.

Was ich jetzt aber nicht verstehe ist (auch der nächste Schritt im Beweis) wieso

φ (W_{x}) (s (x))

und

t ∣_{W_{x}}

(beide

\in R (U)

) den selben Keim in

ℛ_{x}

haben.

Zur Referenz: Der Beweis ist aus dem Buch "Algebraic Geometry" von Robin Hartshorne
(Ich würde gerne \mathcal(G) benutzen aber irgendwie wird das nicht angezeigt).

Meine erste erklärung war, dass wir uns einfach einen Repräsentanten von

φ (W_{x}) (s (x))

anschauen, aber dann ist mir eingefallen, dass anfangs

t \in ℛ (U)

festgelegt wurde. Jetzt bin ich etwas ratlos...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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