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Gemeinsamer Nenner finden bei Brüchen

Schüler

Tags: Brüche, Nenner

tamtamy aktiv_icon

12:43 Uhr, 08.07.2009

Hallo alle zusammen

Ich habe eigentlich keine Probleme mit Bruchrechnen. Ich weiss wie es funktioniert aber ich habe immer das Problem dass ich bei der Addition und Subtraktion schwer einen gemeinsamen Nenner finde. Ich brauche immer ewig was in einer Prüfung ein Problem sein kann. Gibt es einen Trick wie man einfach den gemeinsamen Nenner bestimmen kann?

Hier ist ein Beispiel einer Aufgabe die mich viel Zeit gekostet hat:

\frac{5}{12} + \frac{9}{14} + \frac{13}{16} =

Hat jemand Tipps?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

Edddi aktiv_icon

12:51 Uhr, 08.07.2009

normalerweise sucht man eine Zahl für den Nenner, die Vielfaches aller 3 (oder mehr, oder weniger) Nenner ist....Dies wäre

z . B

. das Produkt aller Nenner:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot (3 \cdot 6)}{2 \cdot 3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot (2 \cdot 6)}{2 \cdot 3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot (2 \cdot 3)}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{18 + 12 + 6}{36} = \frac{36}{36} = 1

...dies kann bei großen Zahlen aber ziemlich langwierig werden, dem zu Folge bedient man sich eines kleineren Vielfachens, nämlich dem "kleinsten gemeinsamen Vielfachen)=kgV

Diese ist immer

\leq

des größten Nenners. Entweder erkennt man das kgV so, oder man bildet es über Primfaktorzerlegung.

In unsrem Beispiel wäre der kgV die

6,

da die 6 ein Vielfaches von

3, 2

und natürlich von 6 selber ist. Aussehen tut's dann so:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1

;-)

Edddi aktiv_icon

13:00 Uhr, 08.07.2009

Bei deinem Beispiel:

12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3

14 = 2 \cdot 7

16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}

jetzt multiplizieren wir alle verschiedenen Basen mit dem jeweils größten Exponenten zusammen!

2^{4} \cdot 3 \cdot 7 = 336

du siehst schon an der Zerlegung in Primfaktoren (diese Zerlegung ist eindeutig), dass die Primfaktoren aller Nenner auch im kgV enthalten sind.

Hierüber kannst du auch gleich die Faktoren für die Zähler ermitteln:

kgV/12

= \frac{2^{4} \cdot 3 \cdot 7}{2^{2} \cdot 3} = 2^{2} \cdot 7 = 28

kgV/14

= \frac{2^{4} \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 7} = 2^{3} \cdot 3 = 24

kgV/16

= \frac{2^{4} \cdot 3 \cdot 7}{2^{4}} = 3 \cdot 7 = 21

...soweit klar?

;-)

tamtamy aktiv_icon

13:58 Uhr, 08.07.2009

Den ersten Teil habe ich verstanden aber das unten verwirrt mich. Kannst du die Darstellung irgendwie vereinfachen? Ich bin nicht so das Mathe Genie. Mir muss man alles so einfach wie möglich erklären mit Formeln kann ich meist nicht viel anfangen. Bin nun auf jedenfall schon viel weiter. Ich hab das immer so gemacht dass ich so lange die verschiedenen Nenner multipliziere alo

1 \cdot 12, 2 \cdot 12 . .

. dann

1 \cdot 14, 2 \cdot 14 ...

. bis ich irgendwann den Nenner gefunden habe. Ich schau nun mal ob ich den ersten Teil so umsetzen kann. Danke :-)

Edddi aktiv_icon

14:26 Uhr, 08.07.2009

...OK...nochmal gaaaanz langsam....

Erstmal zerlegst du die Nenner in ihre Primfaktoren...also in Produkte aus

2,3,5,7,11,13

usw. in der regel reichen die ersten paar Primzahlen aus, solange die Nenner nicht allzugroß werden....

also

z . B

. die

12

ist gerade, also schon mal die 2 als Faktor:

12 = 2 \cdot 6

die 6 ist auch gerade, also nocmal 'ne 2 drin:

12 = 2 \cdot 2 \cdot 3

weiter geht's nicht zu zerlegen...

jetzt fasst du noch gleiche Faktoren (Primfaktoren) zusammen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3

...das jetzt auch mit der

14 :

14 = 2 \cdot 7

...mehr geht nicht

...jetzt die

16 :

16 = 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{4}

...jetzt nur von den UNTERSCHIEDLICHEN Primzahlfaktoren diejenigen mit den höchsten Potenzen multiplizieren:

bei der 2 ist es die

2^{4}

bei der 3 ist es nur die 3
bei der 7 dito: nur die 7

Also:

2^{4} \cdot 3 \cdot 7

ist das kleinste gemeinsame Vielfache...es enthält alle anderen Nenner...logisch, da es ja jeweils aus den größten Potenzen der Primfaktorten gebildet wurde...

...soweit erstmal klar?

;-)

tamtamy aktiv_icon

15:11 Uhr, 08.07.2009

Ja das habe ich verstanden. aber das was nach dem Satz "Hierüber kannst du auch gleich die Faktoren für die Zähler ermitteln:" kam habe ich nicht mehr verstanden. Tut mir leid falls ich etwas schwer von Begriff bin.

tamtamy aktiv_icon

15:46 Uhr, 08.07.2009

Hab das nun mal getestet aber jetzt habe ich eine Aufgabe bei der ich auf eine falsche Lösung komme:

\frac{16}{17} + \frac{27}{28} + \frac{41}{42} =

So nun Zerlege ich die einzelnen Nenner:

Bei

17

kann man nicht zerlegen.

Bei

28 :

2 \cdot 14

2 \cdot 7

Bei

42 :

2 \cdot 21

3 \cdot 7

So und dann muss ich ja

17 \cdot 7 \cdot 7 = 833

Wenn ich

833

nun aber durch die einzelnen Nenner teile geht es aber nicht.

Was hab ich nun falsch gemacht?

Edddi aktiv_icon

15:53 Uhr, 08.07.2009

17) 1 \cdot 17

28) 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^{2} \cdot 7

42) 2 \cdot 21 = 2 \cdot 3 \cdot 7

Somit:

2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 17 = ... .

;-)

Edddi aktiv_icon

16:00 Uhr, 08.07.2009

...so, und da dien kgV in der Regel größer als der Nenner ist, musst du nun noch den Faktor für den Zähler bestimmen...das geht gut über die schon zerlegten Nenner.

Ich mach's mal am Beispiel...und dann klink' ich mich aus, hab' dann nämlich Feierabend...aber hier sind ja noch viele willige Helferlein...

\frac{1}{12} + \frac{2}{15} =

Zerlegen:

12) 3 \cdot 4 = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 3 \cdot 2^{2}

15) 3 \cdot 5

kgV:

2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 60

...jetzt kannst du die

60

durch

12

und

15

teilen um die Faktoren zu bestimmen, du kannst aber auch die schon in Primfaktoren zerlegten Nenner un kgV benutzen, weil:

\frac{60}{12} =

(kgV)/12

= \frac{2^{2} \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 2^{2}} = 5

wie du siehst muss man nicht's mehr rechnen, einfch nur kgV und Nenner Faktoren kürzen und fertig.

;-)

tamtamy aktiv_icon

17:05 Uhr, 08.07.2009

Dann Danke ich dir mal recht herzlich. Du warst mir eine große Hilfe.

tamtamy aktiv_icon

11:57 Uhr, 09.07.2009

Ich wollte mich nur nochmals bedanken und mitteilen dass mir das sehr hilft. kann nun alle Brüche ohne Probleme ausrechnen und ohne stundenlanges suchen nach dem Nenner :-)

Adakatharina aktiv_icon

07:54 Uhr, 28.10.2011

Also ich habe es auch nicht verstanden,Sorry!

Adakatharina aktiv_icon

07:54 Uhr, 28.10.2011

Also ich habe es auch nicht verstanden,Sorry!

Adakatharina aktiv_icon

07:54 Uhr, 28.10.2011

Also ich habe es auch nicht verstanden,Sorry!

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