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Geometrie Fixpunkte

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Tags: Sonstig

Salasah aktiv_icon

02:06 Uhr, 09.03.2016

Gegeben eine affine Ebene

A = (P, G)

P

Menge aller Punkte,

G

Menge aller Geraden.

φ

sei Automorphismus von A (Geraden werden auf Geraden abegbildet.)
Wenn nun zwei Fixpunkte gegeben sind, etwa

φ (a) = a

und

φ (b) = b

mit a ungleich

b,

dann ist klar, dass

φ (a \lor b) = φ (a) \lor φ (b)

(Fixgerade). Aber ist es auch eine FixPUNKTgerade? Also gilt

φ (x) = x

für alle

x \in a \lor b

? Gibt es da ein Gegenbeispiel oder Beweis?

DrBoogie aktiv_icon

09:57 Uhr, 09.03.2016

Was ist

a \lor b

, Fixgerade und Fixpunktgerade?

michaL aktiv_icon

11:17 Uhr, 09.03.2016

Hallo,

ich habe eher die Frage, ob es sich bei

φ

"nur" um eine Kollineation handelt oder ob eine Affinität gegeben ist.

@DrBoogie:
Mit

a \lor b

ist die Gerade durch die beiden Punkte

a

und

b

gemeint.
Eine Fixgerade (bzgl. einer Abbildung

φ

) ist eine, deren Punkte durch die Abbildung (wieder) auf die Gerade abgebildet werden. (Bsp: Jede zur Spiegelachse senkrechte Gerade beim Spiegeln)
Eine Fixpunktgerade ist wiederum eine, bei denen alle Punkte Fixpunkte sind, d.h. auf sich selbst abgebildet werden.

Mfg Michael

Salasah aktiv_icon

12:07 Uhr, 09.03.2016

φ

ist ein Automorphismus,

d . h

φ : P \to P

bijektiv und es gilt

φ (L) \in G

für alle

L \in G

. Also werden wirklich nur Geraden auf Geraden abgebildet. Das heißt ja nichts anderes als für beliebige Punkte

a, B

gilt:

φ (a \lor b) = φ (a) \lor φ (b) = a \lor B

. Also fixgerade. Aber kann es dann auch fixpunktgerade sein?

DrBoogie aktiv_icon

14:03 Uhr, 09.03.2016

Ich habe das Gefühl, dass die Antwort ist, dass dies immer eine Fixpunktgerade ist, aber keine Ahnung, wie man das allgemein beweisen kann. Ist leider nicht mein Gebiet.

Salasah aktiv_icon

23:03 Uhr, 10.03.2016

Hat niemand eine Idee?
Wenn

φ

eine Dilatation ist, dann ist das zwangläufig die Identität, denn:
Sei

φ (a) = a, φ (b) = b

und

φ

Dilatation. Sei

x \in P

und nicht auf der Geraden

a \lor b

.
Die Gerade

x \lor a

ist Fixgerade unter

φ,

denn

σ

ist Dilatation bildet also Geraden auf parallele Geraden ab. Und die einzige parallele Gerade zu

x \lor a

die durch

x

geht ist die Gerade selbst. Also gilt

φ (x) = φ ((x \lor a) \land (x \lor b)) = φ (x \lor a) \land φ (x \lor b) = (x \lor a) \land (x \lor b) = x

\land

soll Schittpunkt sein zwischen zwei Geraden.
Also bildet

x

auf sich selbst ab, für alle

x \in P

die nicht auf

a \lor b

liegen.
Jetzt betrachte ein

x

auf

a \lor b

. Es existiert ein Punkt

q \in P,

welcher nicht auf

a \lor b

liegt. Betrachte die Gerade

a \lor q

. Sowohl a als auch

q

sind Fixpunkte und damit ist nach dem oben gezeigten für die Gerade

a \lor q

der Punkt

x

auf

a \lor b

ein Fixpunkt.

Zusammengefasst. Wenn

φ

Dilatation mit 2 Fixpunkten, dann ist

φ

die Identität.

Aber wie ist das bei einer allgemeinen Kollineation, wenn also Geraden nicht auf parallele Geraden sondern auf beliebige Geraden abgebildet werden.. hat niemand eine Idee?

Ist es dann Fixpunktgerade oder Fixgerade?

michaL aktiv_icon

07:43 Uhr, 11.03.2016

Hallo,

bei mir ist das schon ziemlich lange her.
Daher meine Nachfrage, in welchem Kontext befinden wir uns?
Affine Ebene? Affiner Raum?Was ist mit dem Parallelenaxiom? USW.
Kannst du kurz einsortieren?

BTW: Die Original-Aufgabenstellung (Scan?) wäre auch nicht schlecht...

Mfg Michael

Salasah aktiv_icon

14:21 Uhr, 11.03.2016

Affine Ebene (stand ganz oben :-) )Das heißt:
1. zwischen je zwei Punkten gibt es eine eindeutige gerade.
2. auf jeder Geraden liegen mindestens 2 Punkte
3. es gibt 3 Punkte in allgemeiner lage.
4. parallelenaxiom: wenn

G

eine Gerade und

x \in P,

dann existiert eine eindeutige parallele zu

G

durch

x

.

Scanner hab ich nicht, aber ich Tipp sie nochmal Wort für Wort ab, weil mich die Lösung doch sehr interessiert:

Sei A eine affine Ebene und

φ

in Aut A. Sind

a, b \in P

Fixpunkte von

φ, d . h

φ (a) = a

und

φ (b) = b,

so ist

a \lor b

eine Fixgerade von

φ, d . h

φ (a \lor b) = a \lor b

. Gilt darüber hinaus auch

φ (x) = x

für alle

x \in a \lor b

?

Dies ist die exakte Aufgabenstellung.

ledum aktiv_icon

17:02 Uhr, 11.03.2016

Hallo
wie genau habt ihr Homomorphismus definiert, ich denke es kommt mit 2 Fixpunkten immer nur die Identität in Frage, und damit wäre es eine Fixpunktgerade.
Gruß ledum

Salasah aktiv_icon

17:35 Uhr, 11.03.2016

Hatte ich glaube ich schon einmal geschrieben.

φ : P \to P

bijektiv sodass Geraden auf Geraden abgebildet werden.

D . h

φ (L) \in G'

für alle

L \in G

.
Aber das muss man doch beweisen können...

mihisu aktiv_icon

02:39 Uhr, 12.03.2016

Ich glaube ich habe ein Gegenbeispiel. Also ein Beispiel, bei dem es keine Fixgerade ist. Ihr solltet jedoch genau drüber gucken, da ich bisher noch nicht mit affinen Ebenen in diesem Zusammenhang gearbeitet habe.

P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

G = {g_{1}, g_{2}, p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}, q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}}

mit

g_{1} = {1, 2, 3, 4}

g_{2} = {5, 6}

p_{1} = {1, 5}

p_{2} = {2, 5}

p_{3} = {3, 5}

p_{4} = {4, 5}

q_{1} = {1, 6}

q_{2} = {2, 6}

q_{3} = {3, 6}

q_{4} = {4, 6}

Ich habe auch eine entsprechende Zeichnung angehängt.

Betrachte nun die Abbildung

φ : P \to P,

mit

φ (2) = 3

und

φ (3) = 2

und

φ (x) = x

für alle

x \in {1, 4, 5, 6}

. Das müsste ein Automorphismus sein.

Nun sind 1 und 4 Fixpunkte.

1 \lor 4 = g_{1}

ist eine Fixgerade, aber keine Fixpunktgerade.

[

Nachtrag:]
Sorry, ich habe das Parallelenpostulat nicht genau genug beachtet. Sieht aus, als hätte ich keine affine Ebene definiert.

2. Nachtrag:
Sorry, der vorige Nachtrag, war glaube ich zu voreilig. Soweit ich das sehe, ist ist das Parallelenpostulat erfüllt.

Salasah aktiv_icon

08:30 Uhr, 12.03.2016

Hallo, das ist keine affine Ebene, weil das Parallelen Axiom nicht erfüllt ist. Betrachte die Gerade

{3,5}

. Der Punkt 6 liegt nicht auf dieser Geraden, es muss also eine eindeutige parallele durch

{6}

gehen. Da gibts aber schonmal

2,

nämlich

{4,6}

und

{1,6}

.
Man kann das auch direkt sehen, weil auf jeder affinen Ebene die Geraden gleichmächtig sind, also alle Geraden haben gleich viele Punkte.

Mhm

. .

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