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Inkreis Radius Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Inkreis, Radius

Laura1992 aktiv_icon

15:52 Uhr, 07.06.2016

Kann mir wer diese Aufgabe erklären?

1 .)

Zeichnen Sie ein rechtwinkeliges Dreieck mit Inkreis und zeigen Sie in einer nachvollziehbaren Weise, dass der Inkreisradius

r = \frac{a + b - c}{2}

ist.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade

Apilex aktiv_icon

21:02 Uhr, 07.06.2016

r = \frac{a + b - c}{2} = 2 \frac{A}{a + b + c}

lässt sich durch Umformung mit A(Flächeninhalt)

= a \cdot \frac{b}{2}

und die Formel:

r = 2 \frac{A}{a + b + c}

lässt sich zeigen in den man das Dreieck durch die verbindungslinien der Punkte zum Kreismittelpunkt in 3 Dreiecke teilt, deren Höhhe jeweils

r

und deren Grundseite entweder

a, b

oder

c

ist

\Rightarrow r \cdot \frac{a}{2} + r \cdot \frac{b}{2} + r \cdot \frac{c}{2} = A \Rightarrow 2 \cdot A = r \cdot (a + b + c) \Rightarrow r = 2 \cdot \frac{A}{a + b + c}

Atlantik aktiv_icon

12:36 Uhr, 08.06.2016

Kann man den Sachverhalt auch so beweisen?

r = \frac{a + b - c}{2}

2 r = a + b - \sqrt{a^{2} + b^{2}}

\sqrt{a^{2} + b^{2}} = a + b - 2 r |^{2}

a^{2} + b^{2} = (a + b - 2 r) (a + b - 2 r)

a^{2} + b^{2} = (a^{2} + a b - 2 a r) + (a b + b^{2} - 2 b r) + (- 2 a r - 2 b r + 4 r^{2})

0 = 2 a b - 4 a r - 4 b r + 4 r^{2}

0 = a b - 2 a r - 2 b r + 2 r^{2}

2 r^{2} - 2 a r - 2 b r = - a b

r^{2} - a r - b r + = \frac{- a b}{2}

r^{2} + r (- a - b) + {(\frac{- a - b}{2})}^{2} = \frac{- a b}{2} + \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4}

{(r - \frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{4}

r_{1} = \frac{a + b}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}

r_{2} = \frac{a + b}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}

2 r_{1} = (a + b) + \sqrt{c^{2}}

2 r_{2} = a + b - \sqrt{c^{2}}

2 r_{1} = (a + b) + c

Diese Lösung entfällt, da das Quadrieren einer Wurzel keine Äuivalenzumformung darstellt.

2 r_{2} = a + b - c

r_{2} = \frac{a + b - c}{2}

mfG

Atlantik

Werner-Salomon aktiv_icon

13:11 Uhr, 08.06.2016

Hallo Laura,

ich denke, es geht noch einfacher, als die bisherigen Vorschläge. Dazu nenne ich den Streckenabschnitt auf

c

vom Punkt

A

bis zum Berührpunkt des Innkreises auf

c

x

(s. angehängte Skizze)

Auf Grund der Symmetrien in jeder Ecke kann man jetzt für

a

und

b

schreiben

a = r + c - x

b = r + x

Eliminiere

x

und löse die verbleibende Gleichung nach

r

auf.

Gruß
Werner

funke_61 aktiv_icon

15:36 Uhr, 08.06.2016

Hallo,
wenn sich der Rechte Winkel des lt. Aufgabenstellung gegebenen rechtwinkligen Dreiecks beim Dreieckspunkt

C

befindet, denke ich dass Werner-Salomons Erklärung richtig ist.
;-)

Ginso aktiv_icon

15:57 Uhr, 08.06.2016

@Atlantik:

Was du gemacht hast ist die Gleichung solange umzuwandelndeln bis du wieder auf die gleiche Gleichung gekommen bist, damit ist nichts bewiesen.

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