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Integral in drei Dimensionen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Gogoman96 aktiv_icon

13:46 Uhr, 19.04.2024

Hallo,
ich würde gerne das folgende drei dimensionale Integral lösen und finde jedoch leider nicht den richtig Lösungsweg hierfür. Das Integral lautet

U (t) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int d^{3} p e^{- i (p^{2} / 2 m)} \cdot e^{i \vec{p} (\vec{x} - {\vec{x}}_{0})}

Das Ergebnis lautet

U (t) = (\frac{m}{2 π i t})^{3 / 2} e^{i m (\vec{x} - {\vec{x}}_{0})^{2} / 2 t}

In Kugelkoordinaten würde man als erstes den Faktor

2 π

erhalten. Als nächstes würde ich die

θ

integration durchführen und das Skalarprodukt im zweiten Exponenten umschreiben. Daraus erhalte ich

U (t) = \frac{1}{(2 π)^{3}} \int d p p^{2} e^{- i (p^{2} / 2 m) t} \int d c o s θ e^{i p ∣ \vec{x} - {\vec{x}}_{0} ∣ c o s θ}

Wenn ich die

c o s θ

integration durchführe, wird der Ausdruck jedoch zu kompliziert und ich wüsste nicht wie ich auf das Ergebnis kommen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

14:00 Uhr, 19.04.2024

Mich beschleicht der Verdacht, dass du dich an der einen oder anderen Stelle verschrieben hast - das muss natürlich unbedingt geklärt werden, bevor es hier weiter gehen kann:

Steht da wirklich

e^{- i (p^{2} / 2 m)}

, oder nicht doch eher

e^{- (p^{2} / 2 m)}

? Und

i

ist hier die imaginäre Einheit? Und wo geht Funktionsargument

t

ins Integral ein - aktuell sehe ich da gar nichts. :(

EDIT: Auf meine Nachfragen wird nicht eingegangen, aber der Thread auf Status "Frage beantwortet" gesetzt - komische Sachen gibt's...

Gogoman96 aktiv_icon

15:57 Uhr, 19.04.2024

Ich habe es jetzt gelöst. Das Integral lässt sich durch die quadratische Ergänzung lösen und dann durch das anwenden des Gauß Integrals. Tatsächlich hat das Argument t in der ersten Exponentialfunktion gefehlt.
Danke :-)

Gogoman96 aktiv_icon

16:00 Uhr, 19.04.2024

Die Frage ist nun beantwortet. Es gibt jedoch ein weiteres Integral an dem ich hänge. vermutlich muss ich also eine weitere Frage posten :-)

HAL9000

16:11 Uhr, 19.04.2024

> Das Integral lässt sich durch die quadratische Ergänzung lösen und dann durch das anwenden des Gauß Integrals.

Wenn dort

e^{- \frac{p^{2} t}{2 m}}

stehen würde - ja, dann stimme ich dir zu.

In der vorliegenden Form mit

e^{- i \frac{p^{2} t}{2 m}}

besitzt der Integrand den Betrag 1, was bei diesem unendlichen Integrationsgebiet ein überhaupt nicht definiertes Integral ergibt. :(

EDIT: Hmmm, Ok, als Lebesgue-Integral existiert es nicht, aber vielleicht als uneigentliches Integral.

Gogoman96 aktiv_icon

16:36 Uhr, 19.04.2024

Hmm ja, das stimmt. Das dürfte man dann nicht einfach anwenden. Ich habe die imaginäre Einheit als eine konstante betrachtet und ignoriert, wie sich die Funktion verhält. Bin zwar auf das richtige Ergebnis gekommen, aber anscheinend wurden im Buch annahmen gemacht, die nicht ganz erklärt wurden. Ist übrigen das Buch über Quantum Field Theory von Peskin & Schröder in Chapter 2.

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