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Konfidenzintervall, Binomialverteilung

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Binomialverteilung, Konfidenzintervall, test, Wahrscheinlichkeitsmaß

Trolli aktiv_icon

10:02 Uhr, 09.03.2014

Hallo,

ich möchte den benötigten Stichprobenumfang bestimmen, um ein bestimmtes Intervall zu erhalten. Dazu habe ich in einem Buch diesen Ansatz gesehen:

2 \frac{z σ}{n} \leq Δ p

wobei

z

- Quantil der Standardnormalverteilung

σ

- Standardabweichung

n

- Stichprobenumfang

Δ p

- Genauigkeit des Intervalls

Dann habe ich umgeformt:

2 \frac{z σ}{n} \leq Δ p

\Leftrightarrow \frac{4 z^{2} σ^{2}}{n^{2}} \leq (Δ p)^{2}

\Leftrightarrow \frac{4 z^{2} n p (1 - p)}{n^{2}} \leq (Δ p)^{2} = \frac{4 z^{2} p (1 - p)}{n} \leq (Δ p)^{2}

\Leftrightarrow \frac{4 z^{2} p (1 - p)}{(Δ p)^{2}} \leq n

Nun gebe ich eine Genauigkeit von 1% vor und p ist

\frac{x}{n} = 0, 99

(x = Anzahl Erfolge), z ist einfachhaltshalber 1,96.

\Rightarrow \frac{4 * 1, 9 6^{2} * 0.99 * 0.01}{0.0 1^{2}} \leq 1521, 2736

Also sind 1522 Messungen nötig. Ist das so korrekt?

Nun würde ich gerne noch die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei bei einer bestimmten Anzahl von Messungen die untere Grenze des Intervalls nicht unter eine gewisse Schranke fällt. Z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass bei 3000 Messungen die untere Grenze des Intervalls nicht unter 97% fällt. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen dank schonmal für Hilfe.

PS:
Hier ist ein Beispiel von dem was ich suche. Es geht um Beispiel 7.4 auf dieser Seite
http//campus.uni-muenster.de/fileadmin/einrichtung/imib/lehre/skripte/biomathe/bio/script7.html

Dort ist ein pinker Kasten indem bei gegeben Stichprobenumfang, Wahrscheinlichkeit der Grundgesamtheit und Konfidenzintervall die Wahrscheinlichkeit für eine Binomialverteilung ermittelt wird, dass dieses Intervall eingehalten wird.
Wie kann ich das nachrechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

Mauthagoras aktiv_icon

13:21 Uhr, 09.03.2014

Hallo,

ich würde gerne nochmal besprechen, woher der Ansatz kommt, weil er mich ein bisschen wundert.

Also Du gehst von einer Zufallsvariable

X \sim Bin (n, p)

aus und möchtest wissen, wie groß

n

sein muss, damit die Länge des Konfidenzintervalls für

p

eine bestimmte Grenze unterschreitet, oder? Und dabei wird die Normalverteilungsapproximation genutzt (also die Annahme

\frac{X}{n} \sim N (p, \frac{p (1 - p)}{n})

).
Da nun

p

und somit auch die Varianz unbekannt ist, müssen wir das Konfidenzintervall im Fall unbekannter Varianz verwenden und das lautet

[\frac{x}{n} - \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}}, \frac{x}{n} + \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}}]

mit entsprechendem

t -

Quantil

t

und empirischer Standardabweichung

s

. Wenn Du also den Durchmesser dieses Intervalls kontrollieren willst, müsste eigentlich

2 \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}} \leq Δ p

gelöst werden... Oder habe ich etwas anders verstanden, als Du eigentlich meintest?

Das könnte man mit Deiner Methode lösen.

Was mich dann aber immernoch wundert, ist, dass die Schätzung von

p

durch

\frac{x}{n}

und auch die Schätzung der Standardabweichung von

n

abhängen, bzw. bei Änderung von

n

bräuchte man eigentlich einen neuen Versuch und eine neue Schätzung, sodass es merkwürdig scheint, prinzipiell die Schätzung 0.99 für

p

zu verwenden. Ist andererseits

p

bekannt, so hätten wir diese Probleme nicht, aber dann bräuchte man auch kein Konfidenzintervall für

p

.

Ich hoffe, dass ich Dein Problem nicht einfach falsch verstanden habe...

Gruß Mauthagoras

Trolli aktiv_icon

13:42 Uhr, 09.03.2014

p

ist bekannt.
Es wurden z.B. 30000 Messungen gemacht bei denen 29700 erfolgreich waren. Daher

p = 0, 99

. Nun macht jemand anderes nur 2000 Messungen und ich möchte wissen ob diese ausreichen bei einer gegeben Ganuigkeit von

Δ p

.
Hier habe ich diesen Ansatz auf Seite 19 gerade auch nochmal gesehen
http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Stochastikpdf/Konfidenzintervall.pdf

Und ich möchte die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei gegebenen

p

n

und Intervall dieses Intervall eingehalten wird. Wie im Beispiel 7.4 pinker Kasten auf dieser Seite
http//campus.uni-muenster.de/fileadmin/einrichtung/imib/lehre/skripte/biomathe/bio/script7.html

Mauthagoras aktiv_icon

10:37 Uhr, 10.03.2014

Hallo,

ok, Entschuldigung. Dann komme ich auf genau das gleiche Ergebnis wie Du.
Eine Bemerkung noch:

n

hängt jetzt nicht nur vom gewählten

Δ p

ab, sondern auch von

α

, welches Dein

z

festgelegt hat. Um

n

also zum Beispiel möglichst klein zu machen, könnte man noch das

α

"justieren".

Kannst Du zu Deiner zweiten Frage noch etwas genaueres sagen? Nach der bisherigen Berechnung wäre die untere Intervallgrenze

p - \frac{σ z}{n}

und sie liefert die exakte gewünschte Wkeit

α

bzw.

1 - α

, d.h. sie ist nicht zufällig. Was soll diese Grenze jetzt erfüllen?

Trolli aktiv_icon

17:15 Uhr, 11.03.2014

Danke für's anschauen ;-)

Die zweite Frage konnte ich jetzt auch beantworten. Bei dem Beispiel auf der Seite ist ja

n = 10

p = 0.4

und die Wahrscheinlichkeit soll bestimmt werden, dass die Stichprobe im Intervall

[0.3; 0.5]

liegt.
Also wurde einfach 30% bzw. 50% von 10 bestimmt und die Wahrscheinlichkeit für eine Binomialverteilung bestimmt.

P (3 \leq X \leq 5) = 0.666472

Das passt auch alles. Für die anderen n-Werte natürlich analog.

Aber wie verhält sich es, wenn die Werte nicht ganzzahlig sind?

Beispiel:

n = 89, p = 0.4

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Stichprobe im Intervall

[0.3; 0.5]

liegt?

In diesem Fall ist ja

89 * 0.3 = 26.7

und

89 * 0.5 = 44.5

. Gibt es dafür feste Regeln? Würde man jetzt

P (27 \leq X \leq 45)

(also aufrunden) bestimmen? Müsste man abrunden? Ist sowas überhaupt zulässig? ;-)

Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen. ;-)

Mauthagoras aktiv_icon

19:02 Uhr, 11.03.2014

Runden ist im Prinzip richtig, aber nicht einfach aufrunden: Das Ereignis

X \in [26.7, 44.5]

ist nach Definition äquivalent zu

X \in {27, 28, \dots, 44}

, also berechnest Du

ℙ (27 \leq X \leq 44)

. In der Regel wird also die untere Grenze aufgerundet und die zweite abgerundet.

Das war aber eigentlich Deine dritte Frage. Möchtest Du noch auf die zweite eingehen?

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