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Kongruenz: mod 11
Universität / Fachhochschule
Elementare Zahlentheorie
Tags: Elementare Zahlentheorie, Kongruenz, mod 11
 
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Lösen Sie die Folgenden Kongurenzen (Gleichungen in Restklassen Z) bzw. beweisen sie die Unlösbarkeit: |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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3*x kongruent 9 mod 11 gdw. 3*x kongruent 9 mod 33 oder 3*x kongruent 20 mod 33 oder 3*x kongruent 31 mod 33 Da 33 durch 3 teibar ist, muß für eine durch 3 teilbare Zahl 3*x folgen, daß der Rest bei der Division durch 33 ebenfalls durch 3 teilbar ist. Einziger durch 3 teilbarer Rest ist "9", also gilt für alle Lösungen x: 3*x kongruent 9 mod 33 gdw: Es gibt ein k ele N mit 3*x = 33*k + 9 bzw. x = 11*k + 3. |
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@ m-at-he, warum ist x=3 keine Lösung von 3*x kongruent 9 modulo 11? Gruß Rentnerin |
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Hallo Rentnerin, was für ein x erhält man denn für k=0? |
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Sorry, habe mich verlesen. Gruß Rentnerin |
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Hey dankeschön! jetzt kapier ich's! aber wie würde es dann gehen wenn ich anstatt modulo 11, modulo 12 habe, also: 3*x kongruent 9 mod 12? glg |
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Hallo, man darf nie den Hintergrund vergessen. Restklassen entstehen ja durch Division und man kann die Zahl stets wie folgt "rekonstruieren": Es gibt ein k ele N mit 3*x = 12*k + 9 Hier sieht man, daß man ganz offensichtlich kürzen kann: x = 4*k + 3 Das aber heißt nichts anderes, als daß alle x kongruent 3 mod 4 die Gleichung erfüllen! Bei der anderen Aufgabe (mit der 11) ging das Kürzen nicht sofort, dort mußte man zwei Schritte zusätzlich einbauen: 1. Bringe die 3 vor dem x als Faktor in die Zahl modulo der gerechnet wird und ermittle alle zu der ursprünglichen Restklasse gehörenden Restklassen der neuen modulo Zahl. 2. Ermittle die Restklassen, deren Repräsentant ebenfalls durch diese 3 teilbar sind und rechne nur mit diesen weiter. |
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@ m-at-he, spricht eigentlich etwas dagegen, die Gleichung ("in Restklassen Z, wie Bine schreibt")über dem Körper Z_11 wie folgt zu lösen: [3] * [x] = [9] [x] = [9] * [3]^(-1) = [9] * [4] = [3] Gruß Rentnerin |
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Hallo Rentnerin, natürlich kann man dies in der ursprünglichen Aufgabe auch über den Körper Z_11 lösen, aber ich kann nicht davon ausgehen, daß die Fragestellerin das über Körper gelöst haben will und lösen kann oder lösen darf. Bedenken dazu sind m.E. durch die gewählten Formulierungen durchaus angebracht. Allerdings muß es sich dann auch um einen Körper handeln! Die vor Deinem Einwurf bereits nachgetragene Frage nach der Lösung mit 12 statt 11 führt zu Z_12, was kein Körper mehr ist! Die Kongruenz geht trotzdem zu lösen! |
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| dankeschön! |
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