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Konvergenzradius bestimmen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Konvergenzradius

dxvxdfx aktiv_icon

13:18 Uhr, 07.05.2024

Hallo,

Ich muss den Konvergenzradius der Folge

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{cos (n) + n^{9}}{{(- 1)}^{n} \cdot 6^{n} + 6^{n} + 4^{n}} \cdot z^{4 n}

bestimmen. Jetzt kenne ich schon das Ergebnis und zwar

\sqrt{2}

und habe auch schon ungefähr eine Idee wie man dort hinkommt, aber noch ist es nicht ganz einleuchtend.
Meine Idee wäre bei dem

n

der Wurzel (Formel Cauchy Hadamard)

4 n

einzusetzen, die Frage ist nur warum genau und wieso bleibt im Nenner nur die

4^{n}

relevant (die ja dann mit der 4n-ten Wurzel zu

\sqrt{2}

wird.)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

15:00 Uhr, 07.05.2024

Summationsindex ist vermutlich

n

statt des von dir angegebenen

k

.

Die Reihe konvergiert sicher im Fall

a = \underset{n \to \infty}{limsup} \sqrt[n]{\frac{\cos (n) + n^{9}}{{(- 1)}^{n} \cdot 6^{n} + 6^{n} + 4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n}} < 1

.

Rechnen wir diesen

limsup

aus:

a = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{9}}{4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n}} = lim_{n \to \infty} {\sqrt[n]{n}}^{9} \cdot \frac{∣ z ∣^{4}}{4} = \frac{∣ z ∣^{4}}{4}

.

Zur Erklärung: Der Nenner wird für ungerade

n

4^{n}

, was für den

limsup

dann der Hauptzweig im Vergleich zu den

2 \cdot 6^{n} + 4^{n}

für gerade

n

a < 1

ist damit nun äquivalent zu

∣ z ∣ < \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}

dxvxdfx aktiv_icon

16:06 Uhr, 07.05.2024

Vielen Dank habe es jetzt begriffen und ja genau es war

n

anstatt

k

HAL9000

16:19 Uhr, 07.05.2024

Ganz sauber und wasserdicht müsste man es wohl so darstellen: Für ungerade

n

haben wir

\frac{n^{9} - 1}{4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n} \leq a_{n} \leq \frac{n^{9} + 1}{4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n}

Für gerade

n

haben wir hingegen

\frac{n^{9} - 1}{3 \cdot 6^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n} < \frac{n^{9} - 1}{2 \cdot 6^{n} + 4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n} \leq a_{n} \leq \frac{n^{9} + 1}{2 \cdot 6^{n} + 4^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n} < \frac{n^{9} + 1}{2 \cdot 6^{n}} \cdot ∣ z ∣^{4 n}

Dann jeweils

n

-te Wurzel ziehen bekommt man im Sandwich jeweils Grenzwerte, und zwar

\frac{∣ z ∣^{4}}{4}

für ungerade

n

und

\frac{∣ z ∣^{4}}{6}

für gerade

n

. Der

limsup

davon ist natürlich der größere, also der erste der beiden Werte.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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