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Kubische Gleichung - Lösung vereinfachen
Lehrer
Tags: kubische gleichung, Wurzeln zusammenfassen
 
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Für die kubische Gleichung hat der Mathematiker Tartaglia 1535 in einem mathematischen Wettkampf die folgende Lösungsformel gefunden: (Summe aus zwei 3. Wurzeln, die 3 ist schwer lesbar) So hat beispielsweise die Gleichung die Lösung x=6, wie man leicht durch Einsetzen herausfindet. Nach obiger Formel ergibt sich Mit dem Taschenrechner erhält man auch hier x=6. Frage: Gibt es eine Möglichkeit, den letzten Ausdruck ohne Taschenrechner/Computer so umzuformen, dass sich die 6 ergibt, also mit Bleistift und Papier-Rechnung? Damit ist natürlich nicht gemeint, dass man die Gleichung so lange umformt, dass man wieder die Ausgangsgleichung erhält und dann x=6 durch Ausprobieren findet. Anders gefragt: Hätte Tartaglia mit Hilfe seiner Lösungsformel x=6 (ohne Herumprobieren mit der Ausgangsgleichung) statt des Wurzelgemüses finden können? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
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Es ist . Mutmaßlich ist die dritte (reelle) Wurzel daraus gleich , und dieses lässt sich über leicht bestimmen als . P.S.: Im Zusammenhang mit solchen ganzzahligen Cardano-Lösungen erinnere ich mich an das Eulerprojekt-Problem 251: projecteuler.net/problem=251 |
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Wenn man eine Nullstelle raten kann, nimmt man gewöhnlich die Polynomdivision. So schießt du mit Kanonen auf Spatzen. |
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Klar. Aber als Fior solche Aufgaben an Tartaglia stellte: Wie konnte er erkennen, ob diese richtig gelöst wurden, wenn z.B. die Lösung 3/13 hieß und man nur das Wurzelgemüse sehen konnte? Nur durch Rückeinsetzen in die Gleichung, oder gibt es auch eine andere Vereinfachung? |
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@ Hal >> Mutmaßlich ist die dritte (reelle) Wurzel daraus gleich , ... Die 3 kann man nur vermuten, wenn man die Lösung schon kennt. Setzt man aber voraus, stößt man wieder auf eine kubische Gleichung, um a=3 zu finden. Die Frage ist: Wenn ich nur das Ergebnis mit dem Ausdruck habe, wie komme ich dann auf 6, ohne dass ich vorher die 6 kenne oder vermute. |
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Ich weiß nicht, was du willst: Die 3 ergibt sich über . In der Mehrzahl der Fälle geht es eben gar nicht auf, weil dort keine rationale Lösung existiert. Eigentlich hatte ich deine Frage ja auch ganz anders verstanden, nämlich dass du eine Verbindung herstellen willst zwischen einer (zufällig) ganzzahligen Lösung und den dann doch komplizierteren Termen der Cardano-Formeln - und diese Verbindung habe ich hergestellt. Mehr nicht, ich wüsste auch nicht was. |
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Hallo Die Frage hat ja was philosophisches... "Wenn ich nur den Ausdruck mit..." dritten Wurzeln aus "...(72+-32*sqrt(5)) habe, wie komme ich auf ohne dass ich vorher die . vermute." Ohne Vermutung wohl kaum. Selbst zu Zeiten ohne Taschenrechner gab's Logarithmentafeln und Rechenschieber, die eine Vermutung so um die 6 gestatteten. Ohne diese Vermutung wird man wohl kaum diesen Ausdruck so umgestalten können, wie von HJK gewünscht. PS: auch hier wird's so sein: unmöglich ist's bestimmt nicht, und will ich bestimmt auch nicht beweisen... MIT Vermutung Mit Vermutung wird man die Gleichung zunächst nur als These formulieren können, die es zu beweisen (oder widerlegen) gilt. Das wird man naheliegenderweise per Potenzieren (mit probieren. Ich ahne, das haben HJK und - neben mir - noch weitere Teilnehmer getan. Vielleicht haben noch weitere daraus die Umformung gefunden, na ja, die man als leichte Vereinfachung bewerten mag. Wie auch immer, auch hieraus könnte man wiederum (mit potenzieren. Kurz und gut, meine Versuche haben keinen nennenswert einfacheren Ausdruck erwirkt. Was ja aber nicht heißt, dass es unmöglich wäre! Um nun aber wieder dieses philosophische Drängen von HJK zu verfolgen: Ich würde vermuten, mit dritten Potenzen oder vergleichbaren expliziten Vorgehensweisen komme(n) (ich) wir nicht wirklich zum Ziel. Sondern - es wird wohl so sein, wie . bei Integralen, dass es eben kaum einen Standard-"Kochrezepte"-Weg gibt, den man wie für vergleichbare Aufgabenstellungen nur abzuarbeiten hätte, um zum Ziel zu gelangen, sondern eine zusätzliche Ansatz-Idee oder These benötigt, um anhand derer diesen 'Spezial'-Fall zu beweisen. Als solche Ansatz-Idee könnte eben die Gleichung mit dienen, die dann zum Ziel führt. |
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Mein Problem ist nicht philosophischer, sondern historischer Natur. 1535 gab Fior seinem Kontrahenden Tartaglia in einem mathematischen Wettstreit 30 kubische Gleichungen, wobei damals kein Lösungsverfahren bekannt war. Tartaglia entwickelte die von mir angegebene Lösungsformel und löste alle Aufgaben, während Fior selber keine einzige ihm gestellte lösen konnte. Tartaglia gab aber seine Lösungsformel nicht preis, sondern nur die Lösung. Hätte er das Ergebnis mit seiner Formel dargestellt, wäre diese sicherlich (bei 30 Lösungen) schnell demaskiert worden, was aber nicht geschah. Andererseits erkannte Fior die Lösungen aber alle an. Das bedeutet: Die Lösungen waren nicht einfach durch Einsetzen einiger ganzer Zahlen zu "erraten", mussten andererseits aber "formelfrei" mit damaligen Mitteln zu errechnen gewesen sein. Aber wie? Wäre das Wurzelgemüse mit Zahlentafeln zu berechnen gewesen, hätte jeder die Lösung auch per Intervallschachtelung annähernd finden können. Vermutlich war so etwas nicht möglich, sonst hätte Fior in 40 Tagen mindestens eine Aufgabe lösen können. |
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> Die Lösungen waren nicht einfach durch Einsetzen einiger ganzer Zahlen zu "erraten", > mussten andererseits aber "formelfrei" mit damaligen Mitteln zu errechnen gewesen sein. Dann ist dein Beispiel aber denkbar schlecht geraten, denn Lösung 6 ist hier erratbar (z.B. als Teiler des Absolutglieds 144). ------------------- Es gibt bei mit ganzzahligen nur zwei Situationen: 1) Es gibt keine rationale Lösung . In dem Fall kann man die Cardano-Ausdrücke auch nicht in der obigen Weise vereinfachen. 2) Es gibt eine rationale Lösung . Dann ist diese auch ganzzahlig und überdies ein Teiler von , und damit vielleicht nicht erratbar, aber durch systematisches Abklappern der Teiler von doch ermittelbar. Und man muss ja durchaus nicht stur alle Teiler ausprobieren: So ist z.B. sofort klar, dass für streng monoton wachsend ist, dort also 144 maximal einmal erreichbar ist. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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