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Kurvenintegral, Chauchy'sche Integralformel

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Cauchysche Integralformel, Komplexe Analysis, Kurvenintegral

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11:40 Uhr, 18.04.2024

Hey,

Ich soll das Integral

\int_{∣ z ∣ = 2} z^{2} e^{\frac{z + 1}{z - 1}} d z

berechnen.
Dabei soll man die Chauchy'sche Integralformeln benutzen.
Die habe ich verstanden. Ich bin nur gerade etwas ratlos, wie ich das Integral umschreiben kann. Ich hätte auf den Logarithmus getippt, habe es damit aber nicht geschafft.

Ich hoffe jemand hat einen Tipp für mich

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

13:23 Uhr, 18.04.2024

Die Cauchysche Integralformel sagt für jede holomorphe Funktion

f

\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{f (z)}{(z - 1)^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n!} \cdot f^{(n)} (1)

.

Mit Exponentialreihe

e^{w} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{w^{k}}{k!}

angewandt auf

w = \frac{z + 1}{z - 1}

bekommen wir

\oint_{∣ z ∣ = 2} z^{2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} \frac{(z + 1)^{k}}{(z - 1)^{k}} d z \overset{!}{=} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot \frac{2 π i}{(k - 1)!} f_{k}^{(k - 1)} (1) (*)

mit

f_{k} (z) = z^{2} {(z + 1)}^{k}

. Jetzt musst du davon "nur" noch den Ableitungswert

f_{k}^{(k - 1)} (1)

berechnen, den in (*) einsetzen und dann noch vereinfachen. ;-)

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt am Ende

\frac{44}{3} π e i

heraus - ohne Gewähr. ;-)

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14:58 Uhr, 18.04.2024

Hey, danke für den Tipp :-)

Ich habe das gleiche Ergebnis herausbekommen, es sollte also stimmen.
Ich hätte jedoch noch eine Frage:

Einen Schritt vor Ende komme ich auf

. . . = 2 π i \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\frac{4 k^{3} + 2 k}{3}}{k!}

Die Reihe hat laut Wolfram Alpha den Wert 22/3 und liefert damit das gewünschte Ergebnis. Wie rechne ich die Reihe selbst von Hand aus? Ich stehe gerade irgendwie auf dem Schlauch.

HAL9000

16:22 Uhr, 18.04.2024

Für

k \geq 3

gilt

\frac{4 k^{3} + 2 k}{k!} = \frac{4 k (k - 1) (k - 2) + 12 k (k - 1) + 6 k}{k!} = \frac{4}{(k - 3)!} + \frac{12}{(k - 2)!} + \frac{6}{(k - 1)!}

, wobei der zweite Summand für

k \geq 2

und der dritte sogar für

k \geq 1

gilt. Jedenfalls bedeutet das

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4 k^{3} + 2 k}{k!} = \sum_{k = 3}^{\infty} \frac{4}{(k - 3)!} + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{12}{(k - 2)!} + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{6}{(k - 1)!} = 4 e + 12 e + 6 e = 22 e

.

Man kann sich auch nach und nach durch Kürzen/Indexverschiebungen/Abspalten rantasten:

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4 k^{3} + 2 k}{k!} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{4 k^{2} + 2}{(k - 1)!} \overset{I V}{=} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4 k^{2} + 8 k + 6}{k!} = 6 e + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{4 k + 8}{(k - 1)!}

\overset{I V}{=} 6 e + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4 k + 12}{k!} = 18 e + \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{4}{(k - 1)!} \overset{I V}{=} 18 e + \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{4}{k!} = 22 e

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18:32 Uhr, 18.04.2024

Alles klar vielen Dank für die Erklärung. War einfacher als gedacht :-)

HAL9000

19:57 Uhr, 18.04.2024

Mit dieser Technik kann man den Reihenwert

\sum_{k = 0}^{\infty} p (k) \cdot \frac{z^{k}}{k!}

für beliebige Polynomfunktionen

p

sowie komplexe

z

berechnen, wie hier am Beispiel

p (k) = 4 k^{3} + 2 k

und

z = 1

gesehen.

Messe687 aktiv_icon

00:51 Uhr, 19.04.2024

Werde ich mir auf jeden Fall merken. War bestimmt nicht das letzte mal, dass ich das brauche. Danke nochmal für die Hilfe :-)

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