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Laie sucht Unterstützung bei voll. Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Analysis, Analytische Zahlentheorie, Induktion, Umformen

anonymous

12:30 Uhr, 15.07.2015

Guten Tag,

beschäftige mich nun schon seit drei Tagen mit der folgenden Aufgabe. Da ich kein Student ( und schon einige Zeit kein Schüler mehr) bin befürchte ich, dass es mir an ein paar grundlegenden Fähigkeiten fehlt um die Aufgabe zu lösen. Ich beschäftige mich nur in meiner Freizeit mit Mathe.

Daher hoffe ich nun hier Hilfe zu finden.
Zur Aufgabe:

Es seien

x_{1} = 0, x_{2} = 1

und

x_{n} =

(x_{n} - 1 + x_{n} - 2)

.

Zeige, dass

x_{n} = \frac{2^{n - 1} + {(- 1)}^{n}}{3 \cdot 2^{n - 2}}

für alle

n \in ℕ

Mein Idee sieht bisher so aus

Ich formuliere den Induktionsanfang durch

A (1)

und

A (2),

dadurch kann ich deren Richtigkeit kontrollieren. Dazu setze ich nun

n = 1

und

n = 2

.
Dabei kommt

x_{1} = 0

und

x_{2} = 1

heraus, was richtig ist.

Dann formuliere ich die Induktionsannahme.
Ich gehe also davon aus, dass

x_{k - 1}

und

x_{k}

mit

k \in ℕ

wahr ist.
Dann gilt also :

x_{k - 1} = \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 + 2^{k - 3}}

x_{k} = \frac{2^{k - 1} + {(- 1)}^{k}}{3 \cdot 2^{k} - 2}

Nun formuliere ich den Induktionsschritt

n = k + 1

.
Dann gilt

x_{k + 1} = \frac{2^{k} + {(- 1)}^{k - 1}}{{(3 \cdot 2)}^{k - 1}}

Nun müsste ich doch

x_{k + 1}

beweisen können, indem ich zeige,dass

x_{k + 1} = x_{k - 1} + x_{k}

.

Dann gilt aber auch

\frac{2^{k} + {(- 1)}^{k - 1}}{{(3 \cdot 2)}^{k - 1}} = \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 + 2^{k - 3}} + \frac{2^{k - 1} + {(- 1)}^{k}}{3 \cdot 2^{k} - 2}

Und hier stoße ich nun an meine Grenzen.
Es fehlt mir wohl einfach an den entsprechenden Fähigkeiten, um diese Umformung zu gestalten.
Schon die Frage, wie ich beide Seiten der Gleichung auf den selben Nenner bringe lässt mich verzweifeln. Weder meine Umformungsversuche, noch die Verwendung eines Hauptnenners hat mich weitergebracht.

Als Tipp habe ich zwar, dass die Aufgabe einfacher sei, wenn man Terme der Form

(\frac{2^{k - 1}}{3 \cdot 2^{2} k - 2})

zuerst vereinfachen würde. Leider verstehe ich weder wie ich auf diesen Term komme, noch wie ich ihn vereinfachen.

Kurz gesagt; ab dieser Stelle bin ich ratlos und ab hier hoffe ich auf eure Hilfe.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

13:40 Uhr, 15.07.2015

.
also:
du hast

\to

\to x_{k - 1} \to ...

. (korrigiere: im Nenner steht nicht das "+" . sondern ein"mal")
und

\to x_{k} \to ...

. (korrigiere: im Nenner steht das "-2" im Exponenten

!)

und du hast die

E r w a r t u n g,

dass dann gilt

\to x_{k + 1} \to . .

. (korrigiere: im Zähler steht

\to {(- 1)}^{k + 1};

im Nenner

\to 3 \cdot 2^{k - 1})

und nun solltest du durch geschicktes Umformen zeigen (du kannst auf das Ziel

x_{k + 1}

der Umformung schielen, es aber nicht verwenden) dass

aus

\to \frac{1}{2} \cdot [x_{k} + x_{k - 1}] \to

sich der erwartete Wert

x_{k + 1}

tatsächlich ergibt ..

wenn das nicht gelingen würde, wäre ansonsten dann die Behauptung wohl falsch
aber falls diese Umformung erfolgreich gelingt, ist die Behauptung gewiss wahr..

.

steveQ aktiv_icon

14:50 Uhr, 15.07.2015

Vorschlag: Erstmal umformen:

x_{n} = \frac{2}{3} + \frac{(- 1)^{n}}{3 \cdot 2^{n - 2}}

. Induktionsverankerung:

x_{3}

gibt auf beide Arten

\frac{1}{6}

, dann Induktionsschluss von

x_{n}

auf

x_{n + 1}

rundblick aktiv_icon

15:10 Uhr, 15.07.2015

.

schön - steveQ ..

aber ist damit auch sichergestellt, dass die Rekursionsformel für alle

n

mit deiner Formel (die du beweist) übereinstimmt ?

.

steveQ aktiv_icon

02:03 Uhr, 16.07.2015

Meine Formel ist ja die gleiche wie seine (durch einfache Äquivalenzoperationen umgeformt).

anonymous

10:02 Uhr, 16.07.2015

Vielen Dank für eure Tipps.

Ja die Schreibfehler, Dass hatte ich schon fast befürchtet. Ich bin recht langsam am Rechner, und wenn ich dann noch die mathematischen Formeln verwenden muss. Mein erster Text wurde schon Opfer des automatischen Logout.

Wie auch immer, eure Tipps haben mich schon mal ein gutes Stück weiter gebracht. Nun binn ich aber (vorausgesetzt ich habe alles richtig gemacht) an einen Umformungsschritt gelangt, der mir etwas Probleme bereitet.
Nun bin ich, unter Verwendung von

x_{k + 1} =

(x_{k} + x_{k} - 1)

soweit gekommen:

x_{k + 1} = \frac{1}{2} (\frac{(2 \cdot 2^{k} + {(- 1)}^{- 1} \cdot {(- 1)}^{k} + {(- 1)}^{k})}{2 (3 \cdot 2^{k - 1})})

Ich frage mich nun, wie ich

(- 1) \cdot {(- 1)}^{k} + {(- 1)}^{k})

im Nenner zu

2 {(- 1)}^{k + 1}

regelkonform umformen kann, denn dann müsste ich doch, vorausgesetzt ich habe soweit alles richtig umgeformt, mein Ziel erreicht haben?

Danke nochmals für euer Unterstützung
Chris

Roman-22

11:09 Uhr, 16.07.2015

>

Ich frage mich nun, wie ich

(- 1) \cdot {(- 1)}^{k} + {(- 1)}^{k})

im Nenner zu

2 {(- 1)}^{k + 1}

regelkonform umformen kann

Gar nicht, denn dieser Ausdruck ergibt Null.

(- 1) \cdot T + T = 0,

unabhängig vom Term T.
Offensichtlich hast du dich irgendwo verrechnet. Rechne es eventuell hier langsam vor (und achte dabei bitte auf die Klammersetzung!) damit wir deinen Fehler lokalisieren können.

Wenn ich die beiden Ausdrücke für

a_{k}

und

a_{k - 1}

auf einen gemeinsamen Nenner bringe, so ist dieser Nenner

3 \cdot 2^{k - 2}

denn es muss ja nur

a_{k - 1}

mit 2 erweitert werden. Dein Nenner ist davon das Vierfache!?
Im Zähler erhalte ich so unter anderem den Summanden

2 \cdot {(- 1)}^{k - 1} + {(- 1)}^{k},

der sich dann mit

{(- 1)}^{k} = - {(- 1)}^{k - 1}

und

{(- 1)}^{k - 1} = {(- 1)}^{k + 1}

zum gewünschten

{(- 1)}^{k + 1}

vereinfachen lässt.

R

anonymous

09:17 Uhr, 17.07.2015

Hallo,

entschuldige, ich kann Dir gerade nicht ganz folgen.

Ich denke mal mit

a_{k - 1}

meinst Du

x_{k - 1}

.

Aber dafür gilt doch

x_{k} - 1 = \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot x^{k - 3}}

Mir ist nicht klar, wie ich dabei durch Erweiterung mit 2 auf

3 \cdot 2^{k - 2}

kommen soll.
Also Schritt für Schritt.

Also mein Anfang sah (wegen

x_{k + 1} = \frac{1}{2} (x_{k} + x_{k - 1})

bisher so aus:

\frac{1}{2} (\frac{2^{k - 1} + {(- 1)}^{k}}{3 \cdot 2^{k - 2}} + \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot 2^{k - 3}})

Das ganze müsste ich jezt auf den Hauptnenner bringen, oder sehe ich dass falsch.

Roman-22

13:25 Uhr, 17.07.2015

Ja, meine a sind deine

x

und der Ausdruck den du für

x_{k - 1}

angegeben hast, ist Unfug!

(- 1

gehört in den Index und 2 anstelle von

x

im Nenner)

x_{k - 1} = \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot 2^{k - 3}} = \frac{2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot 2^{k - 3}} \cdot \frac{2}{2} = \frac{(2^{k - 2} + {(- 1)}^{k - 1}) \cdot 2}{(3 \cdot 2^{k - 3}) \cdot 2} = \frac{2 \cdot 2^{k - 2} + 2 \cdot {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot 2 \cdot 2^{k - 3}} = \frac{2^{k - 1} + 2 \cdot {(- 1)}^{k - 1}}{3 \cdot 2^{k - 2}} = \frac{2^{k - 1} + 2 \cdot {(- 1)}^{k + 1}}{3 \cdot 2^{k - 2}}

Was

x_{k}

anlangt, so beachte dort, dass

{(- 1)}^{k} = - {(- 1)}^{k + 1}

ist.

>

Das ganze müsste ich jezt auf den Hauptnenner bringen
Ja, und der Hauptnenner ist eben schlicht

3 \cdot 2^{k - 2} -

siehe oben.
Ich weiß nicht, ob es auch noch nötig ist zu erwähnen, dass

2 \cdot 2^{k - 3} = 2^{1} \cdot 2^{k - 3} = 2^{(1) + (k - 3)} = 2^{1 + k - 3} = 2^{k - 3 + 1} = 2^{k - 2}

ist

R

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