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Lineare (Un-)Abhängigkeit

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Lineare Abhängigkeit, Lineare Unabhängigkeit, Lineares Gleichungssystem, Vektoren

 
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Savodka89

Savodka89 aktiv_icon

21:45 Uhr, 06.10.2008

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Überprüfen Sie, ob die Vektoren linear abhängig sind. Verwenden Sie das 2. Kriterium (algebraisch).

1a) vektor{3 \\ 1 \\ 1}, vektor{1 \\ 1 \\ 0}, vektor{1 \\ 1 \\ 1}
1b) vektor{3 \\ -1 \\ -1}, vektor{2 \\ -1 \\ 3}, vektor{-2 \\ 0 \\ 8}

2)Bestimmen Sie a (zeichnerisch) so, dass die Vektoren l.a. sind: vektor{2 \\ -1 \\ 2}, vektor{2 \\ -1 \\ 3}, vektor{6 \\ 3 \\ a}

Ja, das ist die Aufgabenstellung. Zu Aufg. 1 gehören eigentlich noch 2 Aufgaben, aber da bin ich mir sicher, dass sie linear unabhängig sind, da sie nur die triviale Lösung besitzen, also r=s=t=0

Bei 1a) und 1b) komm ich aber nun nicht weiter.

Bei 1a)z.B. stell ich ganz normal ein LGS auf, also I: 3r+s+t=0u.s.w. Aber ich bekomm halt nur raus, dass r=s=t=0 wieder ist, der Lehrer meinte aber, dass diese beiden Aufgaben linear abhängig sind.
Bei 1b) schaff ich es nicht einmal mehr, das LGS zu lösen, weil ich bei jedem Verfahren scheiter.
Wie muss ich hier also vorgehen und die ganze Sache lösen um l.a. zu beweseisen?

Und vllt. kann mir auch jemand einen Tipp für Aufgabe 2 geben 〉?

Ich hoffe,ihr könnt mir helfen und versteht, was ich zu fragen habe ;)

Danke schonma^^

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anonymous

anonymous

22:16 Uhr, 06.10.2008

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Hallo Savodka89,

kleine Anmerkung zu deinem Beitrag. Wenn du so Begriffe erwähnst wie "2. Kriterium" oder "ich scheiter bei jedem Verfahren", dann sag auch bitte dazu, was das für Kriterien und Verfahren sind. Ich nehme mal an, 2. Kriterium bedeutet Aufstellung des LGS und Erhalt der trivialen Lösung...

1a)
I) 3r+s+t=0
II) r+s+t=0
III) r+t=0⇔r=-t

II) r+s+t=-t+s+t=s=0

I) 3r+s+t=-3t+t=-2t=0⇔t=0⇒r=0

Die Vektoren sind linear abhängig. Entweder hast du die Aufgabe falsch aufgeschrieben oder dein Lehrer hat sich vertan.

I) 3r+2s-2t=0
II)-r-s=0⇔r=-s
III)-r+3s+8t=0

III)-r+3s+8t=s+3s+8t=4s+8t=0⇔s=-2t⇒r=2t

I) 3r+2s-2t=-3s+2s-2t=-s-2t=2t-2t=0,∀t∈ℝ

Wichtig ist hier, dass bei der letzten Zeilenumformung immer eine Nullzeile herauskommt. Das heißt, die Zeile ist immer erfüllt, egal welches t ich einsetze. Ich kann also t beliebig wählen, z.B. t=1, dann kann ich nach meinen Lösungen auch r und s bestimmen. Für t=1 würde dann gelten s=-2, r=2. Dann wäre die entsprechende Linearkombination mit diesem r,s,t eine nicht-triviale Linearkombination des Null-Vektors.

Wie genau du die zweite Aufgabe bearbeiten musst, kann ich dir auch nicht sagen, du sollst die ja zeichnerisch lösen. Ich könnte es nur rechnerisch =)

Aber:
Die Linearkombination eines Vektors liegen auf einer Geraden. Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie auf einer geraden liegen.
Die Linearkombination zweier Vektoren liegen in der Ebene, in der beide Vektoren liegen. Alle Vektoren aus dieser Ebene sind linear abhängig. Du musst also einen dritten Vektor finden, der in derselben Ebene wie die ersten beiden Vektoren liegt.

Gruß
Tobias
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