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Martingaleigenschaft (quadrierter Renditen)

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Martingal, Martingaldifferenz

Karpador aktiv_icon

17:30 Uhr, 16.09.2016

Guten Tag,

ich sitze hier vor folgender Aufgabe und verstehe nicht so ganz, was verlangt ist:

Es sei

P_{t} = P_{t - 1} + ε_{t}

mit

ε_{t} | σ_{t}^{2} ~ i . i . d N (0, σ_{t}^{2})

sowie

σ_{t}^{2} = α_{0} + α_{1} {(Δ P_{t - 1})}^{2}

mit

Δ P_{t - 1} := P_{t} - P_{t - 1}

und

α_{0} > 0, α_{1} > 0

Nun soll ich zunächst prüfen, ob der Prozess

{{(Δ P_{t})}^{2}}

die Martingaleigenschaft hat, das heisst, ob

E_{t - 1} ({(Δ P_{t})}^{2}) = {(Δ P_{t - 1})}^{2}

und weiter diesen Prozess

{{(Δ P_{t})}^{2}}

als lineare Funktion einer Sequenz an Martingaldifferenzen

{η_{t}}

ausdrücken. Für Martingaldifferenzen

η_{t}

gilt definitionsgemäß:

E_{t - 1} (η_{t}) = 0

Soweit sogut. Mein Ansatz zum ersten Teil:
Offenbar ist

Δ P_{t} = ε_{t}

und weiter gilt, da

ε_{t} | σ_{t}^{2} ~ i . i . d N (0, σ_{t}^{2})

dass

ε_{t} = σ_{t} u_{t}

mit

u_{t} ~ i . i . d . N (0,1)

.
Damit folgt für

{(Δ P_{t})}^{2} = ε_{t}^{2} = σ_{t}^{2} u_{t}^{2}

und also

E_{t - 1} ({(Δ P_{t})}^{2}) = E_{t - 1} (σ_{t}^{2} u_{t}^{2}) = σ_{t}^{2} \cdot 1

ungleich 0.
Der Prozess ist also kein Martingal. Es ist dann also auch nicht etwa

Z_{t} := {(Δ P_{t})}^{2} - {(Δ P_{t - 1})}^{2}

eine Martingaldifferenz, sodass

{(Δ P_{t})}^{2} = \sum_{i = 0}^{t} (Z_{i}), Z_{o} = 0

gelten würde, also

{(Δ P_{t})}^{2}

eine lineare Funktion einer Sequenz wäre .

Vielleicht könnt ihr mir bei diesem zweiten Teil der Aufgabe weiterhelfen. Würde mich freuen!

Gruß,
Karpador

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