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Mathe Aufgabe "Sieben im Kreis"
Schüler
Tags: Zahlenrätsel
 
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Bitte um Hilfe! Die Zahlen sollen so in die Figur eingetragen werden, dass sich beim Addieren dreier Zahlen fünf mal dieselbe Summe ergibt, und zwar auf jeder Linie von der Mitte nach außen und auf den beiden Rngen um den Mittelpunkt.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Ich finde die Aufgabe schön. Damit du auch die Chance bekommst, die Schönheit dieser Aufgabe zu erkennen, werde ich dir diese Chance nicht durch das Verraten einer Lösung verderben. |
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@Mik2408 "Aller Anfang ist schwer" Ich habe dir 4 mögliche Ziffern eingetragen. ... und jetzt mach du weiter !  |
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Vielen Dank - habe die gefunden. Eine Frage bitte noch: Mit welcher Regel / Strategie kann ich diese Aufgabe alleine lösen? Danke |
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Es ist wohl eine typische Knobelaufgabe. Mich würde auch interessieren, ob man da systematisch rangehen kann. Knobeln ist nicht unbedingt mein Ding. Vlt. verrät uns jemand, mit welchen Überlegungen man an so etwas herangeht. Auf die Idee kommt es wohl an und die muss man erstmal haben. Wo kommen Ideen her? Das hat wohl . mit Erfahrung zu tun. Wer diese hat, ist klar im Vorteil. Matheprofis tun sich da sicher viel leichter. Ich bin leider keiner. |
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Hallo, da die 4 in der Mitte der Zahlenreihe 1-7 liegt muss/sollte sie auch im Mittelpunkt sein. Man kann sie praktisch nicht ausgleichen. Summiert man alle Zahlen von 1 bis 7 und zieht dann noch die 4 ab erhält man 24. Also muss die Summe der beiden Zahlen auf der jeweiligen Linie sein. Somit kann man auf einer Linie schon einmal die Zahlen 7 (innerer Ring) und 1 (äußerer Ring) eintragen-oder umgekehrt. Dann kann man mit den verbleibenden Zahlen und die Ringe vervollständigen, deren Summe ja sein muss. Gruß pivot |
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Von der Mitte aus gehen 3 Strahlen nach außen, auf denen außer der Mittelzahl jeweils zwei weitere Zahlen liegen. Da die Summen auf den drei Strahlen gleich sein sollen, müssen die Summen der zwei verbleibenden Zahlen jedes Strahls gleich sein, somit muss die Summe der 6 Zahlen durch 3 teilbar sein. Da die Summe aller 7 Zahlen 28 ist, ist die Summe von 6 der 7 Zahlen nur dann durch 3 teilbar, wenn man die 1 oder die 4 oder die 7 weglässt. In der Mitte kann nur eine dieser 3 Zahlen stehen. Angenommen, in der Mitte steht die 1. Wegen 28-1=27 und 27:3=9 ist die Summe auf jedem Strahl 1+9=10. Diese Summe ist aber nicht auf jedem Kreis erreichbar, weil einer der Kreise die größte Zahl 7 enthält sowie zwei weitere Summanden, die beide größer als die schon verwendete Mittelzahl 1 sind. Angenommen, in der Mitte steht die 7. Wegen 28-7=21 und 21:3=7 ist die Summe auf jedem Strahl 7+7=14. Diese Summe ist aber nicht auf jedem Kreis erreichbar, weil einer der Kreise die kleinste Zahl 1 enthält sowie zwei weitere Summanden, die beide kleiner als die schon verwendete Mittelzahl 7 sind. Übrig bleibt nur die Mittelzahl 4 mit der erreichbaren Summe (28-4):3 + 4 = 12. Ein Strahl enthält die 7 und die 1, der nächste die 6 und die 2, und der dritte die 5 und die 3. Derjenige Kreis, der die 7 enthält, benötigt noch die Restsumme 5, welche mit den verbleibenden Summanden nur durch 2+3 erreichbar ist. |
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Man kann auch so argumentieren: Die mittlere Zahl kommt in drei der Liniensummen vor, die restlichen sechs Zahlen aber jeweils nur in zwei dieser Summen. Sei diese jeweils gleiche Liniensumme, dann muss gelten Wegen ist somit , das besitzt nur die eine Lösung , gemäß (*) folgt dann auch . Die sechs Zahlen 1,2,3,5,6,7 muss man nun für die drei Mittelpunktsstrahlen so in Pärchen aufteilen, dass die Paarsumme jeweils ist, das geht trivialerweise nur über . Die Aufteilung auf den Ringen geht dann auch nur über , damit ist bis auf Vertauschung der drei Strahlen untereinander bzw. Vertauschung der beiden Ringe die Numerierung eindeutig festgelegt. |
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. al fin la conclusion. |
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