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Mathe Funktionsscharen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis

Berda aktiv_icon

20:04 Uhr, 25.05.2012

Hi Leute,

ich bitte dringend um Hilfe bei dieser Aufgabe, die mich ganz irre macht und an der ich jetzt schon seid Tagen dran sitze!

Gegeben ist die Funktion: Fk

(x) :

x^4-kx^2

a)

Untersuchen Sie die Funktionsschar fk allgemein nach dem elf-punkte schema und skizzieren sie die Funktionen der Schar für

k = 1

und

k = 2

gemeinsam in ein Koordinatensystem. ( efl-punkte schema: Definitionsmenge/ Wertemenge bestimmen; Globales Verhalten der Funktion; Symmetrie; Nullstellen; Schnittpunkt mit der y-Achse;

1.2.3

. Ableitung; Extrempunkte; Wendepunkte; Wertetabelle erstellen; zeichnen des Graphen)

b)

Bestimmen sie die Funktion

g

die die Ortslinie aller Extrempunkte beschreibt.

c)

Bestimmen sie die Funktion

h,

die die Ortslinie aller Wendepunkte beschreibt.

d)

Welche Funktion der Funktionsschar hat bei

x = 2

eine Nullstelle?
Welche Funktion der Funktionsschar hat bei

x = 3

einen Tiefpunkt?
Welche Funktion der Funktionsschar hat bei

x = 3

einen Wendepunkt?

Ich sitze jetzt schon so lange an dieser Aufgabe, dass ich einfach nichts mehr verstehe, somit bitte ich um schnelle Hilfe!
Vielen Dank schonmal im voraus...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pleindespoir aktiv_icon

20:48 Uhr, 25.05.2012

Gegeben ist die Funktion:

F_{k} (x) : x^{4} - k x^{2}

a) Definitionsmenge/ Wertemenge bestimmen; Globales Verhalten der Funktion; Symmetrie; Nullstellen; Schnittpunkt mit der y-Achse; 1.2.3. Ableitung; Extrempunkte; Wendepunkte; Wertetabelle erstellen; zeichnen des Graphen

Aller Anfang ist schwer .. was davon hast du schon erledigt und wenn mit welchem Ergebnis ?

Berda aktiv_icon

20:59 Uhr, 25.05.2012

Also mir fehlt: Globales Verhalten, Nullstellen, Extrempunkte Wendepunkte, Wertetabelle und Wertemenge.
Symmetrie habe ich: Achsensymmetrisch zur y-Achse
Schnittpunkt mit der y-Achse habe ich durch einsetzen:

(\frac{0}{0})

Ableitungen habe ich: 1. 4x^3-2kx 2.

12 x^{2} - 2 k 3

24 x

das wars schon

: (

pleindespoir aktiv_icon

21:17 Uhr, 25.05.2012

Punkte kann man schon mal gleich mit der Defmenge sammeln: gibt es Einschränkungen? irgendwelche Stellen oder Bereiche, bei denen die Funktiion nicht definiert wäre?

Nein? dann R

Nullstellen:

0 = x^{4} - k x^{2}

da lässt sich

x^{2}

vorklammern :

0 = x^{2} \cdot (x^{2} - k)

Dann mus man wissen, das es genügt wenn in einem Produkt ein Faktor Null wird, das Produkt Null wird. Man kann dann also jeden der Faktoren für sich betrachten und auf Nullstellen untersuchen - also:

0 = x^{2}

und

0 = (x^{2} - k)

na, washammerdenn für Nullstellen ?

Berda aktiv_icon

21:21 Uhr, 25.05.2012

sorry, aber genau da bei den Nullstellen haperts bei mir ganz arg... ich weiß nicht wie ich weiter vorgehen muss!
ich hab einmal

x = 0

undx= plus minus wurzel aus

k

weiter weiß ich leider echt nicht!

pleindespoir aktiv_icon

21:22 Uhr, 25.05.2012

Ableitungen habe ich: 1. 4x^3-2kx 2. 12x2−2k3. 24x

F_{k} (x) = x^{4} - k x^{2}

F ʹ_{k} (x) = 4 x^{3} - 2 k x

F ʺ_{k} (x) = 12 x^{2} - 2 k

F ‴_{k} (x) = 24 x

passt.

Extremstellen findet man durch nullstellen der ersten Ableitung:

F ʹ_{k} (x) = 0

0 = 4 x^{3} - 2 k x

wieder hier die geniale Möglichkeit x vorzuklammern ... den Rest kennst du ja jetzt schon seit 4 Minuten, oder ?

pleindespoir aktiv_icon

21:26 Uhr, 25.05.2012

"ich hab einmal x=0 undx= plus minus wurzel aus k
weiter weiß ich leider echt nicht!"

Das sind die Nullstellen und da muss man nicht viel mehr dazu wissen ... naja eines vielleicht noch, nämlich dass die x=0 eine doppelte Nullstelle ist.

Schön geschrieben sieht das dann so aus:

x_{1, 2} = 0

x_{3} = \sqrt{k}

x_{4} = - \sqrt{k}

da k ein Parameter ist, war das auch schon das Ergebnis .

Berda aktiv_icon

21:32 Uhr, 25.05.2012

ok gut, danke das hab ich jetzt einigermaßen verstanden. Wie gehe ich jetzt weiter mit den Extrempunkten vor? also Hoch und Tiefpunkten? Dafür ist doch die Bedingung f´(x)=0 oder?

pleindespoir aktiv_icon

21:35 Uhr, 25.05.2012

Dafür ist doch die Bedingung f´(x)=0 oder?

Japp - habe ich schon vor ein paar Minuten gepostet - vermutlich warst du noch am "verdauen".

Berda aktiv_icon

21:39 Uhr, 25.05.2012

Oje, wie? jetzt komm ich ganz durcheinander.... Also ich hab die Bedingung, dann klammer ich wieder

x

aus und dann? Wie find ich meinen Hoch bzw. Tiefpunkt?? Sorry wenn ich so viel frage, aber ich muss das einfach verstehen!

pleindespoir aktiv_icon

21:43 Uhr, 25.05.2012

Also dann nochmal gaaanz langsam zum Mitschreiben:

"Extremstellen findet man durch Nullstellen der ersten Ableitung:

F ʹ_{k} (x) = 0

das wäre mal grundsätzlich die Bedingung

0 = 4 x^{3} - 2 k x

das ist die Null eingesetzt vor die Ableitungsfunktion

wieder hier die geniale Möglichkeit x vorzuklammern

und das sieht dann so aus:

0 = x \cdot (4 x^{2} - 2 k)

und das geht so wie eben auch schon - kannst du ja!

Also wo sind die Extremstellebn der Funktion?

Berda aktiv_icon

21:47 Uhr, 25.05.2012

ja dann hab ich einmal

x = 0

und

x =

plus minus wurzel aus

0,5

?
oje oje ich glaub ich hab da irgendwas falsch gemacht....

pleindespoir aktiv_icon

21:51 Uhr, 25.05.2012

0 = x \cdot (4 x^{2} - 2 k)

Einzelfaktorbetrachtung:

0 = x

0 = (4 x^{2} - 2 k)

das eine Ding

x = 0

hast Du ja - übrigens ist das nun eine "normale" Nullstelle.

das andere geht so:

0 = (4 x^{2} - 2 k) ∣ + 2 k

2 k = 4 x^{2} ∣ : 4

\frac{k}{2} = x^{2} ∣ \sqrt{}

x = \pm \sqrt{\frac{k}{2}}

Berda aktiv_icon

22:06 Uhr, 25.05.2012

ok danke! verstehe ich das richtig, dass man beim zweiten einfach nach

x

auflöst? ich komm irgendwie immer mit dem

k

durcheinander....
wenn die errechnete zahl kleiner als Null ist, ist es ein Hochpunkt oder? und wenn sie größer als Null ist ein Tiefpunkt? also habe ich hier einen

T (

plus minus wurzel aus

k

halbe

/ 0)

? oder wie schreib ich das jetzt hin?

pleindespoir aktiv_icon

22:11 Uhr, 25.05.2012

Das k ist zunächst irgendeine Zahl.

Bei unseren bisherigen Berechnungen ist k allerdings schon (für das geübte Auge) einer Einschränkung unterworfen. Ich gehe mal davon aus, dass Du das "geübte Auge" noch nicht so hast, also verrate ichs direkt: Es steht bei der Nullstellensuche der Funktion als auch deren Ableitung unter Wurzel. Also darf es was nicht werden?

----

Wenn Du dann die Nullstellen der 1. Ableitung in die zweite Ableitung einsetzt, dann sollte ziemlich deutlich werden, ob es sich um Max oder Moritz handelt.

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