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Matrix in reduzierte Zeilenstufenform bringen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

8mileproof aktiv_icon

15:56 Uhr, 01.05.2012

hallo, muss folgende Matrix in reduzierte Zeilenstufenform bringen:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{matrix})

in FF_5^4x5

ich muss das ganze also über einem endlichen körper bestimmen. also über der menge FF_5

= {0,1,2,3,4}

und das bereitet mir probleme.

also ich habe das so gemacht, dass ich die negativen zahlen so bestimmt habe:

- a = p - a,

wobei

p = 5

ist. also wenn bei der elem. zeilenumformung die zahl

- 3

auftaucht, dann habe ich daraus 2 gemacht, da

- 3 = 5 - 3 = 2

.

so und jetzt zu meinen zeilenumforungen:

(\begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 4 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 3 & 4 \end{matrix})

-Vertausche Zeile 1 mit 4
- Subtrahiere die 3.Zeile mit der 1.
- Subtrahiere 2mal die 2.Zeile mit der 1.

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \end{matrix})

-Subrahiere die 4.Zeile mit der 2
-Subtrahiere die 1. Zeile mit 2mal der 4.Zeile
- 2*3.Zeile - 3*4.Zeile

(\begin{matrix} 4 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

- 2*1.Zeile -2.Zeile
-3.Zeile -2.Zeile

(\begin{matrix} 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

-3*2.Zeile - 2*1.Zeile

(\begin{matrix} 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

-2*4.Zeile-2.Zeile
-3*3.Zeile - 2.Zeile

(\begin{matrix} 3 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

- 2.Zeile - 3.Zeile
- 1.Zeile - 2.Zeile

(\begin{matrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

so und ab hier komm ich nicht mehr weiter....kann es sein, das ich was falsch gemacht habe?
reduzierte Zeilenstufenform bedeutet ja, dass oberhalb der diagonalen 0en zu finden sein müssen und die diagoaleinträge aus 1en bestehen müssen.
so das hab ich wenn ich die Zeilen durch 3 teile, dann hab ich ja auf der rechten seite brüche und das geht doch in einem endlichen körper nicht, oder?

also gemeint war:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & (\frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & (\frac{4}{3}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & (\frac{1}{3}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix})

kann mir da jmd. weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

sm1kb aktiv_icon

19:43 Uhr, 01.05.2012

Hallo 8mileproof,
die Ableitung der Matrizen findest Du auf dem Bild.
Gruß von sm1kb

8mileproof aktiv_icon

19:21 Uhr, 02.05.2012

ersteinmal vielen dank. aber kann man denn in einem endlichen Körper durch 3 teilen?
in der letzten zeile auf der rechten seite hast du ja als wert

\frac{1}{3},

geht das?

sm1kb aktiv_icon

19:49 Uhr, 02.05.2012

Also die Sache mit dem endlichen Körper verstehe ich nicht. Ich habe die Matrix als erweiterte Matrix eines linearen Gleichungssystem aufgefasst und mit dem Gauss-Verfahren umgeformt.
MfG sm1kb

8mileproof aktiv_icon

21:18 Uhr, 02.05.2012

also mit dem endlichen körper, hier

F_{5}

meine ich die Menge

{0,1,2,3,4}

. nur werte aus dieser menge sind erlaubt.
als bsp. wenn bei der elem. zeilentransformation ein neg. wert

- 4

rauskommt, so darf man nicht

- 4

hinschreiben, sondern muss die

- 4

ändern zu einer

1,

denn

- 4 = 5 - 4 = 1

so hab ich das jedenfalls gemacht. und genau das mit den brüchen hat mit eben verwirrt.
so wie du es gemacht hast, mit ganz normalen zahlen, danach war in der aufgabenstellung nicht gefragt.

ich hoffe ich konnte es einigermaßen verständlich erklären.

gruß

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