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Matrix nach X auflösen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

The-Flowsen aktiv_icon

16:35 Uhr, 22.03.2016

Hallo Leute,

ich habe jetzt unzählige Aufgaben durchgerechnet und langsam flutscht es. 1.Schritt bei einer Aufgabe ist mir allerdings nicht ganz klar. Ich schreibe Sie mal auf :

(A \cdot B) \cdot {(A \cdot X \cdot B)}^{- 1} = E

Ich habe folgendermaßen aufgelöst :

(A \cdot B) \cdot A^{- 1} \cdot X^{- 1} \cdot B^{- 1} = E

A \cdot A^{- 1} \cdot B \cdot B^{- 1} \cdot X = E

E \cdot E \cdot X^{- 1} = E

E \cdot X^{- 1} = E

Das Ergebnis lautet :

X = E

Aber warum ?

E \cdot X^{- 1}

ist ja nicht

= X

Wo liegt mein Fehler ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

16:37 Uhr, 22.03.2016

"Ich habe folgendermaßen aufgelöst"

Und das ist schon falsch.
Die Regel heißt

(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}

. Achte auf die Reihenfolge!

michaL aktiv_icon

16:40 Uhr, 22.03.2016

Hallo,

dein (erster) Fehler liegt schon gleich im ersten Schritt:
Es gilt NICHT (unbedingt)

(A B)^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1}

Vermutlich wurde diese unwesentliche Kleinigkeit irgendwann mal irgendwo erwähnt (vielleicht in der Vorlesung?). Der Fehler ist darauf zurückzuführen, dass die Matrizenmultiplikation (i.a.) nicht kommutativ ist.

Mfg Michael

The-Flowsen aktiv_icon

18:09 Uhr, 22.03.2016

Wie werden denn die Klammern augelöst ?

Ich komme bei der Aufgabe nicht weiter.

Wird diese Klammer nicht so aufgelöst ?

{(A \cdot X \cdot B)}^{- 1} = B^{- 1} \cdot X^{- 1} \cdot A^{- 1}

.

Gruß

Roman-22

18:46 Uhr, 22.03.2016

>

Wird diese Klammer nicht so aufgelöst ?
Ja, aber so hast du es eben nicht getan!

Außerdem hast du auch danach noch wild die Faktoren umsortiert, was eben bei einer nichtkommutativen Rechenoperation wie der Matrizenmultiplikation falsch ist.

Vielleicht könntest du dir Troubles ersparen, wenn du die Angabe erst beidseits von links mit

{(A \cdot B)}^{- 1}

multiplizierst.

R

michaL aktiv_icon

11:29 Uhr, 23.03.2016

Hallo,

> Vielleicht könntest du dir Troubles ersparen, wenn du die Angabe erst beidseits von links mit

(A \cdot B)^{- 1}

> multiplizierst.

Ich würde lieber mit

(A X B)

beidseitig von rechts multiplizieren. Vorteil: Ich muss nachher nicht nochmal invertieren.

Mfg MIchael

The-Flowsen aktiv_icon

13:48 Uhr, 23.03.2016

Ich bekomme leider keine Lösung hin. Kann vielleicht jemand mal einen Lösungsweg posten?

Danke

DrBoogie aktiv_icon

13:52 Uhr, 23.03.2016

(A \cdot B) \cdot (A \cdot X \cdot B)^{- 1} = E

Multiplikation rechts mit

A \cdot X \cdot B

A \cdot B = (A \cdot B) \cdot (A \cdot X \cdot B)^{- 1} \cdot (A \cdot X \cdot B) = E \cdot (A \cdot X \cdot B) = A \cdot X \cdot B

.

Multiplikation links mit

A^{- 1}

B = A^{- 1} \cdot A \cdot B = A^{- 1} \cdot A \cdot X \cdot B = X \cdot B

.

Multiplikation rechts mit

B^{- 1}

E = B \cdot B^{- 1} = X \cdot B \cdot B^{- 1} = X

The-Flowsen aktiv_icon

14:00 Uhr, 23.03.2016

Danke DrBoogie

Ist es so das die Klammer

(A \cdot X \cdot B)

die Klammer

{(A \cdot X \cdot B)}^{- 1}

wegfallen lässt ? Warum eigentlich ? Ist das eine allgemeine Rechenregeln ?

Danke

DrBoogie aktiv_icon

14:04 Uhr, 23.03.2016

Für jede invertierbate Matrix

A

gilt

A \cdot A^{- 1} = E

. Das ist eigentlich die Definition.
Und ob da

A

steht oder

A \cdot B

oder

A \cdot X \cdot B

, ist egal, diese Gleichung gilt für JEDE Matrix.
Und

E \cdot A = A

für jede

A

, natürlich.

The-Flowsen aktiv_icon

14:13 Uhr, 23.03.2016

Habs jetzt nochmal aufgeschrieben. Habs kapiert ! Vielen Dank

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