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Menge aller reeller Folgen, Metrische Raum
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen, Metrik, metrische Raum, vollständigkeit
 
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Sei die Menge aller reeller Folgen . Für definieren wir falls (ungleich) oder (ungleich) und sonst 1/("sup"n in ,für . Zeigen Sie, dass ein metrischer Raum ist. Zeigen Sie, dass vollständig ist. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo welche Axiome musst du denn nachweisen für "metrischer Raum" sieh das erst mal nach, dann frage genauer, wo du nicht weiter kommst. |
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Gleich beim ersten Axiom weiß ich nicht wie ich vorgehen soll. Ich muss zeigen, dass Wenn dann ist und wenn dann folgt . Bei hatte ich die Idee zu zeigen dass nach unendlich) von wenn aber es ist mir nicht klar wie ich es zeigen kann. Ich denke hauptsächlich verstehe ich nicht was in diesem Fall mit der Supremum gemeint ist |
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Hey, Für das Supremum musst du dir die zwei Folgen und anschauen. 1)Du schaust für welche : gilt 2)Du nimmst dein größtes für welche es gilt. Das ist dein Supremum. Als Beispiel: und Für gilt: und Für gilt: und Da der Sinus nie größer als 1 wird gilt danach . Du hast also Gleichheit bei und . Da ist dein Supremum in diesem Fall. |
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Hey, Danke für deine Antwort. Das Problem ist das für beliebige es gilt niemals . Deswegen habe ich überlegt, dass damit gilt für muss ich einen Grenzwert berechnen damit aber ich weiß nicht ob das sinnvoll oder Richtig in diesem Kontext ist |
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Deine Idee macht Sinn für mich. Du hast zwei Folgen mit Grenzwert und mit Grenzwert y. Wenn du zwei Folgen hast mit dem gleichen Grenzwert folgt ja für . Da dein unendlich groß wird heißt das ja auch, dass dein Supremum unendlich groß wird. Daraus folgt . Umgekehrt folgt aus , dass dein Supremum unendlich groß wird und daraus folgt für . Daraus folgt, dass und den gleichen Grenzwert haben. Es gilt also |
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Kann jemand vielleicht mir helfen zu vorstellen was eine Cauchyfolge in eigentlich ist ? Danke |
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Kann jemand vielleicht mir helfen zu vorstellen was eine Cauchyfolge in eigentlich ist ? Danke |
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Ich kann es mal allgemein versuchen. Eine Cauchyfolge in einem metrischen Raum ist definiert durch: Das bedeutet, ab einem bestimmten ist der Abstand zwischen zwei Folgengliedern maximal groß. Wenn du also Richtung unendlich gehst, liegen alle restlichen Folgenglieder immer näher zusammen. Das zeigt, aber noch nicht unbedingt die Konvergenz der Folge. Es gibt ein Beispiel mit und für Falls liegt der Grenzwert nicht in und die Cauchyfolge konvergiert folglich nicht in . Falls aber der Raum vollständig ist, konvergieren alle Cauchyfolgen in . Ich hoffe das hat etwas geholfen |
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@Messe687 Deine Erklärung der Metrik im Beitrag 18.04., 18:49 ist leider falsch: Man betrachtet nicht das größte , für das gilt! Sondern stattdessen das größte , für das ununterbrochen für alle gilt - das ist i.a. etwas völlig anderes! Wenn man etwa die beiden Folgen sowie dahingehend betrachtet, so gilt zwar für alle und damit unendlich oft Gleichheit, aber es ist auch bereits , womit das hier gesuchte ist. Für diesen Sonderfall wird aber die Metrik mit Wert 1 festgelegt. 1) Im Falle der Gleichheit gilt aber selbst diese "ununterbrochene" Gleichheit für alle , damit ist deren Supremum , und damit die Metrik gleich . 2) Sind sie hingegen ungleich, gibt es irgendeinen kleinsten Index mit , und die Metrik ist gleich . 3) Betrachten wir nun drei Folgen : Sei der kleinste Index mit und der kleinste Index mit (sollte es die nicht geben, dann nehme man den uneigentlichen Wert ). Was wissen wir nun über den kleinsten Index mit ? Wegen für alle gilt garantiert , es folgt oder , und damit , das ist die Dreiecksungleichung. P.S.: Ich habe selbstredend überall die Folgen im Sinne , und verstanden. |
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Danke für eure Hilfe ! |
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