Multivariate Optimierung

Hallo,

ich habe eine Frage zu einem Optimierungsproblem mit 2 Variablen. Kann ich dieses bivariate Problem in zwei univariate Probleme unter Ausnutzung des Envelope-Theorems überführen? D.h. ich optimiere zuerst nach einer Variable, setze diese dann wieder in die Zielfunktion ein und optimiere nach der anderen Variable. Das Envelope Theorem bezieht sich ja eigentlich eher darauf, dass ich zunächst nach einer Variable optimiere, diese einsetze und dann nach einem exogenen Parameter ableite.

Aber gibt es da wirklich einen Unterschied? Gibt es dazu ein Theorem oder eine Regel, wann dies erlaubt ist?

Aufgabe:

Ist es äquivalent, dass das bivariate Optimierugsproblem simultan bzw. sukzessiv gelöst wird.

${\displaystyle \mathrm{max<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\iff \mathrm{max<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$

Lösungsweg (simultane Lösung):

${\displaystyle \mathrm{max<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

Bedingung 1. Ordnung: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\frac{\partial }{\partial \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$ und ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\frac{\partial }{\partial \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0}$ - d.h. zwei Gleichungen, die von s und n abhängen und die über ein Gleichungssytem lösbar sind.

Lösungsweg (sukzessive Lösung)

${\displaystyle \mathrm{max<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}))}$

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\frac{\partial }{\partial \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0\to \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*=\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\left(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$

Einsetzen von s*(n) in f(s,n)

dann: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*(\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left)\right)\frac{\partial }{\partial \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=0\to \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*=}$

Dann wiederum einsetzen von n* in s*(n)

Vielen Dank für eure Hilfe!