Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Partielle Integration, unklarer schritt

Partielle Integration, unklarer schritt

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Partielle Integration

Maxxxam aktiv_icon

21:33 Uhr, 18.04.2024

Kann mir jemand helfen den Rot markierten Schritt bei der partiellen Integration zu verstehen. Was muss man machen um dahin zu kommen ?

Screenshot_2024-04-18-17-39-48-204_com.android.chrome

Screenshot_2024-04-18-17-39-53-593_com.android.chrome~2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ledum aktiv_icon

22:29 Uhr, 18.04.2024

Hallo
die Frage ist schwer zu verstehen, von der ersten part. Integration steht noch das e^xsin(2x) da, danach die 2 te partille Integration des Integranden 2e^xcos(2x) wie die erfolgt stht ja genau da. Dann endet man mit-4* dem ausgangsintegral und addiert das zu der ursprünglichen linken Seite. Sonst musst du genaue fragen, was in deinem roten Kreis du nicht verstehst.
Gruß ledum

HJKweseleit aktiv_icon

22:59 Uhr, 18.04.2024

Nach der ersten Integration bleibt noch das unbekannte

\int 2 e^{x} \cdot cos (2 x) d x

. Du hast also ein unbekanntes gegen ein anderes unbekannte getauscht. Jetzt wendest du darauf noch mal die Partielle Integration an. Dabei darfst du

f

und

g

nicht aus dem 1. Schritt übernehmen, sonst drehst du dich im Kreis!

f

und

g

werden also neu definiert. Damit erhältst du

\int 2 e^{x} \cdot cos (2 x) d x = e^{x} \cdot 2 cos (2 x) - \int e^{x} \cdot (- 4 sin (2 x)) d x = e^{x} \cdot 2 cos (2 x) + \int e^{x} \cdot 4 sin (2 x) d x

Das setzt du nun in dein erstes Ergebnis ein.

\int e^{x} \cdot sin (2 x) d x = e^{x} \cdot sin (2 x) - (e^{x} \cdot 2 cos (2 x) + 4 \cdot \int e^{x} \cdot sin (2 x) d x)

Das gesuchte Integral steht nun links einmal und rechts

- 4

mal. Das bringst du von links nach rechts rüber und erhältst

5 \int e^{x} \cdot sin (2 x) d x = e^{x} \cdot sin (2 x) - e^{x} \cdot 2 cos (2 x)

.

Jetzt durch 5 teilen, und fertig.

Respon

23:14 Uhr, 18.04.2024

Es ist zwar nicht der Inhalt der Anfrage, aber es kann manchmal vorteilhaft sein, alternative Methoden zu kennen.

\int e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) d x =

?
Methode "allgemeiner Ansatz"

\int e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) d x = e^{x} \cdot (a \cdot sin (2 \cdot x) + b \cdot cos (2 \cdot x))

a und

b

sind zu bestimmen.

[e^{x} \cdot {(a \cdot sin (2 \cdot x) + b \cdot cos (2 \cdot x)]}^{'} = e^{x} \cdot [(a - 2 \cdot b) sin (2 \cdot x) + (2 \cdot a + b) cos (2 \cdot x)]

Koeffizientenvergleich ergibt

2 \cdot a + b = 1

a - 2 \cdot b = 0

\Rightarrow a = \frac{2}{5}

und

b = \frac{1}{5}

also

\int e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) d x = e^{x} \cdot (\frac{2}{5} \cdot sin (2 \cdot x) + \frac{1}{5} \cdot cos (2 \cdot x))

Noch etwas "verschönern" und die add. Konst. nicht vergessen.

calc007

00:02 Uhr, 19.04.2024

Ich hab's nur überflogen.
Vielleicht hilft mein Hinweis.
Auf deinem zweiten Lösungsblatt steht:
"Wir lösen nun:"
I=

\int e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) d x

Du siehst, ich habe diesem Ausdruck einen Namen, den Namen

"I"

gegeben.
Du wirst gleich verstehen warum.

Ich ahne, bis dahin sollte der Hergang verständlich und verstanden sein:
I

= . .

= e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - [2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) + 4 \cdot \int e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) d x]

= e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) - 4 \cdot \int e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) d x

Jetzt gilt es zu erkennen, dass das Integral ganz rechts doch genau wieder der Ausgangs-Ausdruck ist. Eben genau dieses "I".
Also:
I

= e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x) - 4 \cdot I

ganze Gleichung plus

4 \cdot I :

I+4*I

= e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x)

5 \cdot I = e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x)

ganze Gleichung geteilt durch 5:
I

= \frac{e^{x} \cdot sin (2 \cdot x) - 2 \cdot e^{x} \cdot cos (2 \cdot x)}{5}

und siehe da, das wollten wir doch lösen...

HAL9000

12:38 Uhr, 19.04.2024

Eine Alternative zur partiellen Integration: Basierend auf

e^{i t} = \cos (t) + i \cdot \sin (t)

gilt

\int e^{x} \cdot e^{i 2 x} d x = \int e^{x} \cdot \cos (2 x) d x + i \cdot \int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x

,

und es ist

\int e^{x} \cdot e^{i 2 x} d x = \int e^{(1 + 2 i) x} d x = \frac{1}{1 + 2 i} e^{(1 + 2 i) x} = \frac{1 - 2 i}{5} e^{x} \cdot (\cos (2 x) + i \cdot \sin (2 x))

= \frac{e^{x}}{5} (\cos (2 x) + 2 \sin (2 x)) + i \frac{e^{x}}{5} (- 2 \cos (2 x) + \sin (2 x))

.

Getrennt nach Real- und Imaginärteil fallen dabei ab

\int e^{x} \cdot \cos (2 x) d x = \frac{e^{x}}{5} (\cos (2 x) + 2 \sin (2 x))

\int e^{x} \cdot \sin (2 x) d x = \frac{e^{x}}{5} (- 2 \cos (2 x) + \sin (2 x))

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1584816

1584805

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?