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Pyramide Dreieck

Schüler

Tags: Pyramide, tetraeder, Volumen

Loobia aktiv_icon

10:30 Uhr, 30.03.2009

Kann mir jemand die Herleitung dieser beiden Körper beschreiben? Danke!!!

Ich habe die Formel, brauche nur die HErrleitung, damit ich es richtig verstehe. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

23:55 Uhr, 30.03.2009

in die Pyramide lassen sich rechtwinklige Dreiecke einbeschreiben. Dann ganz viel Pytagoras. Fang mal an einen Lösungsbeginn zu posten. Bis bald.

Loobia aktiv_icon

07:24 Uhr, 31.03.2009

Soll das rechtwinklige Dreieck als Grundfläche eingezeichnet werden? will nämlich eine Formel für den Volumen.

Edddi aktiv_icon

07:36 Uhr, 31.03.2009

...Hallo Loobia...

...hatten wir das nicht schon vor 6 Tagen ???

Also bei deiden Körpern handelt es sich um Kegel.

Schau dir doch mal die Definition von Kegeln an:

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze) außerhalb der Ebene verbindet. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels

In der Elementargeometrie wird die Volumenformel oft mit dem Prinzip von Cavalieri begründet. Man vergleicht den gegebenen Kegel mit einer Pyramide von gleicher Grundfläche und Höhe. Für Parallelebenen zur Grundfläche in beliebigem Abstand folgt aus den Gesetzen der Ähnlichkeit bzw. der zentrischen Streckung, dass die entsprechenden Schnittflächen gleichen Flächeninhalt besitzen. Daher müssen die beiden Körper im Volumen übereinstimmen.

Das Volumen für die Pyramide mit quadratischer Grundfläche hatten wir bereits einfachst hergeleitet.

Wenn du etwas von der Herleitung nicht verstanden hast, kannst du es ruhig posten.

:-)

Loobia aktiv_icon

09:22 Uhr, 31.03.2009

Hallo Lieber Edddi,

leider hatten wir es nicht vor sechs tagen, da mir da nicht geholfen wurde. Ausserdem hat es sich nicht um ein Tetraeda gehandelt.

„In der Elementargeometrie wird die Volumenformel oft mit dem Prinzip von Cavalieri begründet.“

Ich kann damit leider nichts anfangen.

“Das Volumen für die Pyramide mit quadratischer Grundfläche hatten wir bereits einfachst hergeleitet.“

Hatten wir leider nicht. Aber wenn wir es haben, wärst du so nett und kopiert es mir, denn ich finde es nicht!

Danke!

Ein Kegel Herzuleiten, kann ich zwar nicht mehr, aber habe es im 2 Semester in Physik mal hergeleitet, ist nur schon 7 Jahre her. Muss mal meine unterlagen nachschauen. Wenn ich es habe, poste ich es, vielleicht braucht es ja noch jemand.

Edddi aktiv_icon

09:38 Uhr, 31.03.2009

Hallo Loobia....

...du möchtest die "Herleitung dieser beiden Körper"

Was möchtest du denn herleiten...deren Volumeformel ?

Die Volumenformel ist für beide gleich.

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Wie ich oben beschrieben habe, sind auf Grund der zentrischen Streckung die einzelnen Flächen von verschiedenen Kegeln in gleicher Höhe auch gleich groß, wenn ihre Grundfläche übereinstimmt.
Dabei kommt es nicht auf die Form der Grundfläche an....diese kann elliptisch, rund, n-eckig, oder sonstwie geformt sein.
Da die Kegel unter dieser Voraussetzung in gleicher Höhe auch die gleiche Fläche haben muss ihr Volumen identisch sein.

Da der Tetraeder eine Pyramide, und die Pyramide ein Kegel ist, gilt für alle diese Körper auch die Volumenformel

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h .

Also...ich fass' jetzt zusammen:

Um das Volumen deiner beiden Kegel (einmal mit quadr. Grundfläche und einmal mit dreieck. Grundfläche) herzuleiten, leite ich die Volumenformel einer Pyramide mit flächengleicher quadratischer Grundfläche her.

ALLE Kegel mit gleicher Grundfläche haben dann die selbe Volumenformel!!!

Ich wähle deshalb die herleitung an einer Pyramide mit quadr. Grundfläche, weil dort das Volumen ganz einfach elementar berechenbar ist.

Jetzt die Herleitung der Pyramide:

Jetzt also zu unserem elementar berechenbaren Körper (Pyramide mit quadr. Grundfläche

(a \cdot a)

und Höhe

h

genau über dem Mittelpunkt des Quadrats):

Teilt man die Pyramide in der Hälfte der Höhe, erhalte ich im Oberteil eine ähnliche Pyramide mit genau den halben Abmaßen. Daraus folgt, das die Spitze

\frac{1}{8}

des Volumens der ganzen Pyramide hat.

Ich nenne dieses Volumen

V_{s}

(V-Spitze)

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

Der Pyramidenstumpf lässt sich jetzt wie folgt zerlegen:

-

in einen Quader mit Kantenlänge

\frac{a}{2}

und der Höhe

\frac{h}{2}

daraus folgt ein Volumen des Quaders:

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

- \in 4

Prismen, welche sich zu dem gleichen Quader wie eben genannt zusammenlegen lassen.
daraus folgt ein Volumen für die 4 Prismen:

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

- \in 4

Pyramiden-Viertel, welche genau mit der Pyramidenspitze übereinstimmen
daraus folgt ein Volumen der 4 Pyramiden-Viertel:

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

damit gilt, wenn alle Teilstücke wieder zusammengesetzt werden:

2 \cdot V_{S} + 2 \cdot V_{Q} = V_{P}

V_{S} = \frac{1}{8} \cdot V_{P}

ist:

\frac{1}{4} \cdot V_{P} + 2 \cdot V_{Q} = V_{P}

2 \cdot V_{Q} = \frac{3}{4} \cdot V_{P}

V_{Q} = a^{2} \cdot \frac{h}{8}

ist:

a^{2} \cdot \frac{h}{4} = \frac{3}{4} \cdot V_{P}

a^{2} \cdot h = 3 \cdot V_{P}

\frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot h = V_{P}

w . z . B . w .

:-)

Loobia aktiv_icon

09:15 Uhr, 01.04.2009

Danke für deine Bemühungen, ist aber leider nicht das was ich will. Wie soll ich es jemanden so erklären, die nicht soooo gut in mathe ist.

dachte, dass man es einfacher erklären kann.

Also falls jemand eine andere idee ausser Cavalieri hat, bitte her damit. Danke!

pleindespoir aktiv_icon

10:33 Uhr, 01.04.2009

Komplizierte Erklärung ...
... ist Ansichtssache - hängt freilich von der Basis ab, auf der man aufbauen kann. Für die Erklärenden ist es schwierig herauszufinden, wo man anfangen soll, wenn das Fragestellerfeedback nur aus "kapier ich nicht, bitte noch einfacher" besteht.
Aus dem Thread entnehme ich dass Du studiert hast und die Materie schon irgendwann mal bearbeitet hast.

pleindespoir aktiv_icon

10:37 Uhr, 01.04.2009

Zitat:
Soll das rechtwinklige Dreieck als Grundfläche eingezeichnet werden? will nämlich eine Formel für den Volumen.
Antwort:
Die Grundfläche kann durch rechtwinklige Dreiecke beschrieben werden. Das bedeutet nicht, die Grundfläche zum Dreieck zu machen. Ausserdem gibt es noch mehr rechtwinklige Dreiecke in der Pyramide ... such mal und denke nach!

Loobia aktiv_icon

09:00 Uhr, 02.04.2009

Danke für deine nachricht. ich will dich nicht beleidigen schon allein weil du älter als ich bist.

also so klug... braucht man glaub ich hier nicht. wenn du nicht auf die frage, die gestellt wurde antworten kannst, dann schreib doch nichts, bevor du einfach alles nur verlängerst. das ist ein forum wo den fragenden geholfen werden soll.

danke, dass du es trotzdem versucht hast.

Also wenn jemand auf meine erste frage antworten kann, wäre toll.

Ich möchte den Volumen einer Pyramide mit der grundfläche einmal als Dreieck einmal als Rechteck herleiten. Danke euch!

Edddi aktiv_icon

09:47 Uhr, 02.04.2009

...hallo Loobia...ja...ich bin's mal wieder...

...meine Herleitung hat dir ja nicht so gefallen.

Es gibt natürlich immer mehrere Rechenwege, um was herzuleiten, aber es wäre gut zu wissen, welchen Kenntnisstand ich bei dir voraussetzen kann...um dann vielleicht ein Verfahren zur Herleitung der Volumen zu finden.

Zum Beispiel kann ich das Volumen einer Pyramide mit drei- und viereckiger Grundfläche noch ganz einfach über die Integralrechnung herleiten, indem ich die Flächen über die Höhe integriere.

Leider steht bei deiner Klassenstufe 0. Klasse drin...das ist natürlich nicht sehr hilfreich...die Angabe soll man da ja nicht umsonst machen, sondern um ungefähr zu wissen, welcher Kenntnisstand bei dir vorausgesetzt werden kann.

...ich schätze mal, auf Grund der allgemein schlechten mathematischen und physikalischen Schulgrundbildung in unserem Land und das du meinen Ausführungen nicht folgen konntest, die

10 . - 11

. Klassenstufe - damit fallen dann erstmal die Integrale weg.

Also bleibt nur die Ausführung über einen elementaren Rechenweg.
Diesen hab' ich dir jedoch schon gezeigt, nämlich indem eine Pyramide in bekannte Körper zerlegt wird (Quader, Prisma) und sich so das Volumen mit den altbekannten Formeln herleiten lässt.

Was schwebt dir denn vor???

Oder wo genau konntest du meine Herleitung nicht nachvollziehen??

Viele Grüße

:-)

Loobia aktiv_icon

13:15 Uhr, 02.04.2009

:-) danke! aber ich kann integrieren mein problem ist es nur, ich will jemand, die in der

10

klasse ist den Volumen einer Pyramide herleiten, da ich ihr nachhilfe gebe.
habe mir gedacht, wenn ich ihr nur die formel sage, und die pyramide sich etwas verändert, kann sie es eventuel nicht rechnen.
mein problem ist es, dass es schon lange her ist.
wenn ich eine pyramide habe, das eine grundfläche a mal

b

hat, ist es trotzdem V=1/3Gh?
un was ist wenn meine pyramide die spitze nicht mittig hat?
wie ist es bei einer pyramide mit G=dreieck aber kein Tetraeder?
Ich hoffe, es sind nciht zuviele Fragen!

Edddi aktiv_icon

13:55 Uhr, 02.04.2009

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Diese Volumenformel gilt für ALLLLE Kegel.

Bei einem Kegel...und ich wiederhole mich jetzt mal...spielt die Form der Grundfläche keine Rolle.
Alle Linien vom Umfang der Fläche (Leitlinie) zu einem Punkt außerhalb der Fläche nennt man Mantellinien.
Der Punkt bildet die Spitze des Kegels.
Die Summe aller dieser Linien ergibt die Mantelfläche.

Als Höhe gilt der sekrechte Abstand der Ebene auf der die Grundfläche liegt zur Kegelspitze.

Die Spitze muss also nicht über der Grundfläche liegen, solange aber die Höhe gleich bleibt, verändert sich auch das Volumen des Kegels nicht.
(siehe Skizze, die Kegel haben alle gleiches Volumen

!!!!!!!)

So...jetzt zu deiner Pyramide....

Die Pyramide ist der Definition nach also auch ein Kegel, also kannst du die Formel dafür verwenden.
Du ermittelst die Grundfläche und die Höhe und fertig.

Der Tetraeder ist ein Spezialfall der Pyramide, also eine Pyramide, und da eine Pyramide ein Kegel ist, ist auch das Tetrader ein Kegel.

...wichtig ist nur, das du die senkr. Höhe ermittelst...

...und wie ich schon geschrieben hab', kannst du die Volumenformel für eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche nur mit den Formeln für einen Quader und ein Prisma herleiten.

Das Ergebniss war

\frac{1}{3} \cdot G \cdot h . .

. diese Formel kannst du nun für ALLLLE Kegel verwenden, die eine belibige aber flächengleiche Grundfläche haben.
(Folgt aus dem Prinzip des Cavalieri)
Aus dem selben Prinzip folgt, das die Spitze des Kegels oder der Pyramide sonstwo liegen kann, solange sich die Höhe nicht ändert.

Die Formeln für ein Quader und ein Prisma...sowie das Cavalierische Prinzip sollten einem Nachhilfeschüler der

10

. Klassenstufe geläufig sein oder ihn zumindestens nicht überfordern.

:-)

Loobia aktiv_icon

08:40 Uhr, 03.04.2009

Danke!

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