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Quadratur der Parabel

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Archimedes, Beweis, Parabel, Quadratur

LeonieS aktiv_icon

20:08 Uhr, 17.06.2009

hallo, ich hab in mathe eine gfs über Die Quadratur der Parabel von Archimedes gemacht. Mir fehlt bis jetzt aber immer noch ein richtiger Beweis für meine Berechnungen. Die Rechnungen ansich sind ja ganz leicht, aber auf den Beweis komm ich einfach nicht....
Konkret geht es darum, welche Fläche eine Parabel hat .
Heute sagt man: die Fläche der Parabel kann nicht kleiner, aber auch nicht größer sein, als

\frac{4}{3}

des größten Dreiecks , beträgt, das der Parabel einbeschrieben werden kann.
ich hab zunächst einfach mal gezeichnet und dann ganz normal drunter die Rechnung.

z . B

A = \frac{1}{2} b \cdot h

A=(1/2*2,8cm)*4,7cm
A=6,58cm²

das war alles auch soweit okay, nur mein Lehrer wollte einen Beweis, der von der Rechnung sozusagen fern bleibt.
Hoffe jemand kann mir da weiterhelfen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen
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pleindespoir aktiv_icon

22:08 Uhr, 19.06.2009

... die Fläche der Parabel kann nicht kleiner, aber auch nicht größer sein, als 4/3 des größten Dreiecks ...

Was nicht grösser aber auch nicht kleiner sein kann, müsste gleich sein.
Und das ist ja wohl nicht der Fall.

Beweis fern von der Berechnung bedeutet allgemeingültig mit Varablen und Parametern.

pleindespoir aktiv_icon

22:18 Uhr, 19.06.2009

Wie Du siehst, ist das grösste in die Parabel einbeschriebene Dreieck durch den Ursprung sowie den Punkten

+ x ∣ x^{2}

sowie

- x ∣ x^{2}

beschrieben.

Die Höhe dieser Dreiecke ist also

x^{2}

. Die Fläche x*x*x. Anders geschrieben:

x^{3}

Das Integral der Parabel lautet:

\int_{- x}^{+ x} x^{2} d x = [\frac{1}{3} x^{3}]_{- x}^{+ x}

Und falls jetzt das Wundern einsetzen sollte:
Das integral beschreibt die Fläche UNTER der Kurve, das Dreieck die Fläche ÜBER der Kurve bis zum Maximalwert des jeweiligen y.

pleindespoir aktiv_icon

22:26 Uhr, 19.06.2009

Aber eigentlich bräuchten wir noch ein Dreieck, was sich von aussen an die Parabel anlegt. Was fällt dir da für eine Möglichkeit ein?

LeonieS aktiv_icon

22:45 Uhr, 19.06.2009

erstmal danke für deine antwort.

also soviel ich weiß, brauchen wir kein dreieck das außerhalb der parabel liegt, weil wir ja nur die fläche unter der parabel bzw die parabelfläche berechnen wollen.
eigentlich müsste es ja jetzt reichen wenn ich das so hinschreib, wie du es mir geschrieben hast und für

x

einfach jeweils die punkte einsetze? oder was muss ich da dann einsetzen? mein mathelehrer ist leider ziemlich genau...aber bis jetz hab ichs eigentlich verstanden.

pleindespoir aktiv_icon

22:54 Uhr, 19.06.2009

Es ist für solche geometrischen Grenzberechnungen nicht von nachteil, sich von "beiden" Seiten zu nähern. Dann kann man den gesuchten Wert in Grenzen setzen. Schau mal unter der Berechnung der Kreiszahl pi, wie das gemacht wird. Es wird ein Dreieck in den Kris gelegt und dann um den Kreis. Der Wert liegt zwischen der Seitensumme des äusseren und inneren Dreicecks. Dann macht man das mit dem Quadrat, den Fünfeck....

So kann eben auch intergriert werden - indem man den Flächeninhalt von Schritt zu schritt in immer engere Grenzen definiert. ad infinitum.

LeonieS aktiv_icon

00:34 Uhr, 20.06.2009

okay, aber für meine gfs fehlt mir eben nur noch der beweis, mehr brauch ich gar nicht . aber der kommt mir bisschen kurz vor,?!weiß jetz immer noch nicht genau, wie ich das hin schreiben soll.

LeonieS aktiv_icon

10:20 Uhr, 22.06.2009

Kann mir vielleicht sonst noch irgendjemand weiter helfen?

Leuchtturm aktiv_icon

10:11 Uhr, 25.06.2009

Mein Ansatz (ob das so akzeptiert wird, weiß ich nicht):

f (x) = - x^{2} + c

(ich nehme hier mal ne nach unten geöffnete Normalparabel, welche um

c

Einheiten auf der y-Achse nach oben verschoben wird. Das kann man so schön visualisieren. Andersrum geht natürlich auch.)

Die Nullstellen davon sind:

x_{1} = \sqrt{c}

und

x_{2} = - \sqrt{c}

Wegen der Symmetrie und um meine Rechnung zu vereinfachen, berechne ich den Flächeninhalt zwischen Parabel und y-Achse im Intervall zwischen 0 und

\sqrt{c}

und multipliziere das Ergebnis mit 2

A = 2 \cdot \int_{0}^{\sqrt{c}} - x^{2} + c d x = 2 [- \frac{1}{3} x^{3}

+cx

]_{0}^{\sqrt{c}}

Einsetzten der Intervallgrenzen ergibt:

A = 2 \cdot (- \frac{1}{3} {(\sqrt{c})}^{3} + c \cdot \sqrt{c})

A = 2 \cdot (- \frac{1}{3} c^{1,5} + c^{1,5})

A = - \frac{2}{3} c^{1,5} + 2 c^{1,5}

A = \frac{4}{3} c^{1,5}

Das Dreieck:

A = \frac{(\sqrt{c} - (- \sqrt{c})) \cdot c}{2}

A = \frac{2 \sqrt{c} \cdot c}{2}

A = c^{1,5}

Die Parabelfläche beträgt mithin

\frac{4}{3}

der Dreiecksfläche.

Any comments? Nehme Kritik gerne entgegen.

Edddi aktiv_icon

11:12 Uhr, 25.06.2009

...du hast es mittels Integrale gezeigt, dies Verfahren war Archimedes jedoch so nicht bekannt.

Es ist sicher das von Archimedes gefundene Prinzip gemeint, das Parabelsegment mit Dreiecken auszufüllen, welche jeweils ein viertel Flächeninhalt des größeren Dreiecks haben...dies ergibt dann eine geometrische Reihe mit dem Faktor

\frac{4}{3} .

;-)

Leuchtturm aktiv_icon

11:36 Uhr, 25.06.2009

Donnerwetter, dett iss mir zu kompliziert. Sowas macht man doch bloß

a \cap e

Uni und nicht auffe Schule, oder?

Meinste nicht, die Schüler sollten die Erkenntnisse vom Archimedes mittels moderner Methoden untersuchen?

Edddi aktiv_icon

11:46 Uhr, 25.06.2009

...ist schon erstaunlich, mit welchen Mitteln die Mathematiker früher gerechnet haben...und das noch alles ohne PC und Infinitesimalrechnung...

;-)

Leuchtturm aktiv_icon

11:57 Uhr, 25.06.2009

Du Edddi, ich hab grad nochmal gestöbert. Der Archimedes kannte die Infinitesimalrechnung doch auch nicht. Wieso dürfen die hier:

http://www.informatik.uni-frankfurt.de/~trupp/local/parabel.pdf

auf Seite 2 und da bei

(3)

einfach ableiten?

Edddi aktiv_icon

12:12 Uhr, 25.06.2009

...so alt, das ich Archimedes kenne bin ich nun auch nicht, aber ich denke schon, das sich so ein schlauer Kopf schon mit Differenzenquotienten und Anstiegen beschäftigt hat.

Man kommt ja in der Analysis garnicht umhin...ob er das allerdings Diffentialrechnung genannt hat mag ich bezweifen.

...jetzt ess' ich erstmal ein Happen...Mahlzeit

;-)

pleindespoir aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.06.2009

Mit der nach unten geöffneten Parabel ist das wirklich anschaulich. Einfach mal andersrum denken...

Also nehmen wir mal so eine "Einheitsparabel"

y = - x^{2} + 1

Das Dreieck zwischen den Schnittpunkten der x- und y-Achse hat eine Hypothenuse von

\sqrt{x_{0}^{2} + y_{(0)}^{2}}

Länge und kann durch die Geradengleichung

y = - \frac{y_{(0)}}{x_{0}} \cdot x + y_{(0)}

beschrieben werden.

Dieses Dreieck hat mal die Fläche 0,5FE.

Jetzt bleibt ja noch der Zwischenraum zwischen dem Dreieck und der Parabel.
Der errechnet sich logischerweise aus der Differenz der Parabelgleichung minus der Geradengleichung:

y = - x^{2} + 1 - (- \frac{y_{(0)}}{x_{0}} \cdot x + y_{(0)})

ein wenig vereinfacht:

y = - x^{2} + 1 + 1 \cdot x - 1

y = - x^{2} + x

sieheda - wieder eine Parabel und die sieht dann so aus:

pleindespoir aktiv_icon

19:17 Uhr, 25.06.2009

Das Dreieck, was jetzt unter der kleineren parabel klemmt, hat 0,125 FE oder auch

\frac{1}{8}

Zusammen mit dem Dreieck vorhin also schon mal

\frac{1}{2} + \frac{1}{8}

so, jetzt haben wir wieder eine Parabel minus einer Geradengleichung - aber Achtung:
Wir nehmen nur die linke Hälfte und diese dann aber doppelt:

y = 2 (- x^{2} + x - (. 25 / . 5) x)

vereinfacht:

y = 2 (- x^{2} + \frac{1}{2} x)

y = - 2 x^{2} + x

und das sieht bildlich so aus:

pleindespoir aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.06.2009

und das Dreieck hat die Fläche 1/32 FE.

Wieder entsteht eine Parabel, die ein eingeschriebenes Dreieck hat( welches wir doppelt nehmen müssen), so dass das nächste Dreieck wohl vermutlich die Fläche von 1/128 besitzen wird.
Die Fläche unter dem rechten Parabelast ergäbe sich also aus 1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + 1/1024 + ...
... das nähert sich verdächtig 2/3! Und das wäre ja wohl auch die Lösung des Integrals

\int_{0}^{1} - x^{2} d x

Auch ne wundervolle Herleitung, nur leider nicht nach Archimedes.

Na, ich geh' dann nochmal in die Badewanne - das soll ja der Überlieferung nach geholfen haben ...

LeonieS aktiv_icon

13:45 Uhr, 30.06.2009

Vielen Dank für eure Antworten.ich glaub jetz hab ichs kapiert.

=)

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