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RAUMDIAGONALE BERECHNEN ???

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Pyramide, Raumdiagonale, Würfel

samuel aktiv_icon

18:27 Uhr, 10.04.2008

Hallo, wir haben heute in der Schule folgende Aufgabe bekommen:

Einem Würfel ist eine Pyramide aufgesetzt. Berechnen die länge der Raumdiagonalen!

Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet!!

Danke schon mal im vorraus! Samuel

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Giles aktiv_icon

19:01 Uhr, 10.04.2008

Ansatz: Die Teilstrecke der roten Strecke innerhalb der Pyramide ist genau die Hälfte der gesamten roten Strecke.

Um die rauszubekommen können wir ein Verhältnis über Höhe der Pyramide ( ohne Würfel) und einem Viertel der Diagonalen der Grundseite der Pyramide aufstellen:

x: besagte Hälfte der roten Strecke; h: Höhe der Pyramide;

Zunächst die Diagonale der Grundseite: $D = \sqrt{8^{2} + 8^{2}}$ (Pythagoras)

Die Höhe kann nun beschreiben werden durch: $h = \sqrt{8^{2} - {\frac{\sqrt{2 \cdot 8^{2}}}{2}}^{2}}$ (Pythagoras von der halben Diagonalen und einem Scheitel der Pyramide).

Die rote Teilstrecke x kann nun beschrieben werden durch: $x = \sqrt{{\frac{\sqrt{2 \cdot 8^{2}}}{4}}^{2} + {\sqrt{8^{2} - \frac{\sqrt{2 \cdot 8^{2}}}{2}}}^{2}}$

x ist laut Derive/taschenrechner dann ungefähr 8.145130186

Die gesamte rote Strecke ist dann 16.29026037 lang.

samuel aktiv_icon

19:13 Uhr, 10.04.2008

OK, vielen danke für deine Hilfe

!!!!!

GoldenTeddy aktiv_icon

16:22 Uhr, 25.02.2014

Hallo,

auch wenn der Thread schon ein bisschen betagter ist, ist es nicht unwahrscheinlich, dass jemand der eine änhliche Aufgabe bearbeitet und im Internet nach Hilfe sucht, auf diese Seite stößt.

Der Ansatz von Giles ist nicht sehr geschickt und meines Erachtens auch inkorrekt. Besser ist es, ein großes dreieck mit den folgenden Seiten zu betrachten (siehe Zeichnung am Ende der Antwort):

Rote Linie (gesucht): Hypothenuse

c

Die halbe Flächendiagonale des würfels: Kathete a
Die gesamthöhe (Höhe Würfel

+

Höhe Pyramide): Kathete

b

Damit kommt man auf folgende Gleichungen:

Die Flächendiagonale des Würfels ist: FD

= \sqrt{2} \cdot a,

also FD

= \sqrt{2} \cdot

8cm
Damit ist Kathete

a = \sqrt{2} \cdot 8

/ 2 = \sqrt{2} \cdot

4cm

Die Gesamthöhe setzt sich wie folgt zusammen:

Höhe des Würfels: 8cm

Die Höhe der Pyramide lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Höhe der Pyramide^2

+

Halbe Flächendiagonale^2 = Schräge der Pyramide^2

Also Höhe der Pyramide^2 = Schräge der Pyramide^2 - Halbe Flächendiagonale^2

H_{P}^{2} = (8

)^{2} - (\sqrt{2} \cdot

4cm

)^{2}

Somit:

H_{P} = \sqrt{}

(8cm

)^{2} - (\sqrt{2} \cdot

4cm

)^{2}) =

8cm/

\sqrt{2}

Damit ist die Gesamthöhe bzw. Kathete

b :

H = H_{W} + H_{P} = 8

+

8cm/

\sqrt{2}

Nun können wir die gesuchte rote Linie mit dem Satz des Pythagoras bestimmen:

R^{2} = a^{2} + b^{2} = (\sqrt{2}

*4cm

)^{2} + (8

+

8cm/

\sqrt{2})^{2}

R = ({(\sqrt{2} \cdot 4)}^{2} + {(8 + \frac{8}{\sqrt{2}})}^{2}))^{\frac{1}{2}} = 14.78

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