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Rechteck in gleichschenkligem Trapez

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: einschreiben, Extremwert, Rechteck, Trapez

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19:51 Uhr, 20.02.2011

Nabend zusammen,

einem gleichschenkligen Trapez soll ein Rechteck mit maximaler Fläche eingeschrieben werden. a, c und h des Trapezes sind bekannt.

Die HB ist ja ganz leicht, A vom Rechteck. Es ist aber überhauptkeine Seite des Rechtecks bekannt, drum steh ich irgendwie bei der NB an.

Ich hab in Paint mal ganz fix und freihändig ne Skizze angefertigt. Ich nehme an, dass es irgendetwas mit ähnlichen Dreiecken/Strahlensatz zu tun haben wird, aber ich komm einfach nicht drauf.

Danke schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Flächeninhalte
Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Raute / Drachenviereck / Trapez

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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20:10 Uhr, 20.02.2011

Ich hab mal ein Bild gemacht.

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21:10 Uhr, 20.02.2011

Ahh, mir geht ein Licht auf...

Vielen Dank!

Keine Ahnung, wieso mir das nicht aufgefallen ist :)

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21:12 Uhr, 20.02.2011

Gern geschehen.

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16:44 Uhr, 30.03.2011

Ich stehe vor dem selben Beispiel, allerdings weiß ich nicht, was mein "x" ist.

Im Buch ist eine Skizze gegeben, die ich nicht ganz deuten kann?

Bitte um Hilfe!

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17:38 Uhr, 30.03.2011

Servus,

meinst du das x auf deiner Skizze, oder auf meiner?

Bei deiner ist's ja nichts anderes als bei mir (bzw auf Shipwaters Skizze) das t.

Schöne Grüße in die STMK aus Wien :)

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17:42 Uhr, 30.03.2011

Hey!

Auf der von Shipwater meinte ich!
Wenn ich deine Formel übernehme, steht bei mir:

h : \frac{a - c}{2} = x : \frac{a - c}{2}

Außenglied mal Außenglied, Innenglied mal Innenglied...

a = 10

c = 4

h = 3

\Rightarrow

3 \cdot h = 3 \cdot x

h

hab ich, also hab ich nur mehr eine Variabel:

x

.

Ich brauch ja aber zwei Unbekannte?

LG zurück!

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17:50 Uhr, 30.03.2011

Extremwert ist bei mir jetzt schon eine Weile her, aber gib mir doch bitte mal die komplette Aufgabenstellung; welche sind die Bekannten?

Deine Gleichung kann deswegen nicht stimmen, weil dann ja x=h wäre, und das stimmt ja nicht.

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17:56 Uhr, 30.03.2011

"Einem gleichschenkeligem Trapez mit

a = 10

cm,

c = 4

cm und

h =

3cm ist das flächengrößte Rechteck so einzuschreiben, dass eine Seite auf der Basis des Trapezes liegt. Man berechne Amax!"

Dazu die Skizze, die ich oben eingescannt habe!

Ich weiß nur,
HB:

A = x \cdot y

Und die NB muss ich mit dem Strahlensatz berechnen, nur ich komm nicht darauf!

: (

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18:15 Uhr, 30.03.2011

Steht doch in meinem Bild oben. Seien

s

und

t

die Seiten des Rechtecks dann gilt:

t = \frac{2 x h}{a - c}

mit

x = \frac{a - s}{2}

folglich

t = \frac{(a - s) h}{a - c}

\Rightarrow A (s) = s \cdot \frac{a - s}{a - c} \cdot h = \frac{h}{a - c} \cdot (a s - s^{2}) \Rightarrow A' (s) = \frac{h}{a - c} (a - 2 s)

und damit Maximalstelle bei

s = \frac{a}{2}

mit

A_{m a x} = \frac{a^{2} h}{4 (a - c)}

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18:18 Uhr, 30.03.2011

Mann, ist dieser Shipwater schnell :)

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18:55 Uhr, 30.03.2011

Ah, Dankeschön!

Woher weiß ich aber, dass

\frac{a - c}{2} = \frac{a - s}{2}

?

Ist das dass gleiche?

Ich seh das nicht so wirklich aus den Skizzen heraus.

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19:22 Uhr, 30.03.2011

Was soll das sein? Die Gleichung stimmt nicht (allgemein).

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19:39 Uhr, 30.03.2011

Die erste Zeile, die du in deinem letzten Beitrag geschrieben hast!

Wieso kann ich folgendes behaupten:

t = \frac{h \cdot x \cdot 2}{a - c}

t = \frac{h \cdot (a - s)}{a - c}

Diesen Zusammenhang versteh ich nicht.

EDIT:

Die NB ist demnach also auf Grund des Strahlensatzes

h : \frac{a - c}{2} = x : \frac{a - c}{2}

oder?

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19:57 Uhr, 30.03.2011

Hab ich doch geschrieben. Das folgt aus

x = \frac{a - s}{2}

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20:04 Uhr, 30.03.2011

Ich meinte, woher ich weiß, dass

x = \frac{a - s}{2}

?

Zweitens, es heißt doch

t = 2 \cdot x \cdot h

Wenn ich dann für

x

die obrige Zahl einsetze, hast du geschrieben:

(a - s) \cdot h

Fehlt da nicht ein

\cdot 2

im Zähler?

Und meine NB ist in Anwendung des Strahlensatzes

h : \frac{a - c}{2} = x : \frac{a - c}{2}

oder?

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20:10 Uhr, 30.03.2011

Schau dir meine Skizze von oben an. Offensichtlich gilt

a = s + 2 x

also auch

x = \frac{a - s}{2}

.
Und nein da fehlt keine 2 im Zähler, weil sich die 2 doch kürzt.

2 \cdot x \cdot h = 2 \cdot \frac{a - s}{2} \cdot h = (a - s) \cdot h

Und deine Nebenbedingung ergibt keinen Sinn, weil dann

h = x

wäre, aber das gilt bestimmt nicht allgemein. In meine Skizze habe ich den Strahlensatzansatz doch auch schon geschrieben:

\frac{h}{(\frac{a - c}{2})} = \frac{t}{x}

Skizze: images.onlinemathe.de/images/fragenbilder/images/4bd52a854269cd88134bdeb2c88398bc.png

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20:15 Uhr, 30.03.2011

Dankeschön vielmals!

Bei mir heißt

t ...

x

und

x ... .

\frac{a - c}{2}

also habe ich deinen Strahlensatz verwendet, nur mit meinen gegebenen fremden Variablen (siehe Skizze in meinem Buch).

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20:27 Uhr, 30.03.2011

Man kann natürlich auch anders ansetzen. Aus deiner Skizze ergibt sich zum Beispiel:

\frac{h - x}{(\frac{y - c}{2})} = \frac{h}{(\frac{a - c}{2})} \Leftrightarrow x = \frac{h (a - y)}{a - c}

Und das ist ja das gleiche wie ich oben raus hatte nur mit

t = x

und

s = y

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20:48 Uhr, 30.03.2011

Okay, danke!

Wie muss ich vereinfachen?

Ich rechne Außenglied

\cdot

Außenglied und IG

\cdot

IG.

h - x \cdot \frac{a - c}{2} = h \cdot \frac{y - c}{2}

Rechne ich zuerst

/ \cdot 2

2 \cdot h - 2 \cdot x \cdot a - c = 2 \cdot h \cdot y - c

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20:50 Uhr, 30.03.2011

Die 2 kannst du auf beiden Seiten einfach wegstreichen. Dann

h - x = \frac{h (y - c)}{a - c} \Leftrightarrow x = h - \frac{h (y - c)}{a - c}

Bringe jetzt auf einen Benner.

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21:14 Uhr, 30.03.2011

Vielen Vielen dank!

Eine finale Frage hab ich allerdings noch.

A max = x \cdot y

Wieso ist das dann

\frac{a^{2} \cdot h}{4 \cdot (a - c)}

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21:18 Uhr, 30.03.2011

A (x) = x \cdot \frac{a - x}{a - c} \cdot h

ergibt für

x_{m a x} = \frac{a}{2}

eben

A_{m a x} = \frac{a^{2} h}{4 (a - c)}

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