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Reihe berechnen

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Tags: Folgen, Reihen

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20:01 Uhr, 09.07.2011

Hallo!

Hab hier eine Angabe wo ich mich nicht auskenne. Kann mir hier wer helfen?

Angabe im Bild!

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20:07 Uhr, 09.07.2011

Wo genau kommst du denn nicht weiter?

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20:10 Uhr, 11.07.2011

Ja bin mir nicht sicher ob überhaupt der anfang stimmt wie ich sie berechnen soll:

Also anfangen tu ich mit der Sinx ableiten oder?

fx=sinx ,f(0) = 0

f'x=cosx, f'(0) = 1

f''x = -sinx, f''(0) = 0

f'''x = -cosx, f'''(0) = -1

So nun weiß ich mal nicht wie das f^n ausschaut? das brauch ich ja oda?

Nun in die Taylorreihe einsetzten oder?:

$\sum_{k = 0}^{u n e n d l i c h} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} \cdot x^{k} = x - \frac{x^{3}}{3!} ...$

Stimmt das soweit? oder jetzt schon fehler?

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20:10 Uhr, 11.07.2011

Ja bin mir nicht sicher ob überhaupt der anfang stimmt wie ich sie berechnen soll:

Also anfangen tu ich mit der Sinx ableiten oder?

fx=sinx ,f(0) = 0

f'x=cosx, f'(0) = 1

f''x = -sinx, f''(0) = 0

f'''x = -cosx, f'''(0) = -1

So nun weiß ich mal nicht wie das f^n ausschaut? das brauch ich ja oda?

Nun in die Taylorreihe einsetzten oder?:

$\sum_{k = 0}^{u n e n d l i c h} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} \cdot x^{k} = x - \frac{x^{3}}{3!} ...$

Stimmt das soweit? oder jetzt schon fehler?

sixshot aktiv_icon

20:15 Uhr, 11.07.2011

hi

bilde mal das taylorpolynom von

f (x) = \frac{sin (x)}{x}

an der stelle

x = 0 . .

.

dann haste sofort dein mc laurin polynom.

grüße six

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21:42 Uhr, 11.07.2011

Hallo, ich denke die Reihe des Sinus ( de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Definition_als_Taylorreihe ) kann man als gegeben ansehen.

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21:58 Uhr, 11.07.2011

ja e aber es steht ja als erster dass sinus taylor berechnen oder verwenden halt...

wenn ich dass hab dividiere ich ja einfach das polynom durch x oder? -->

$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!} - ...$ stimmt so oda?

und wie bestimme ich jetzt daraus den konvergenzradius?

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07:35 Uhr, 12.07.2011

Schreib das Polynom doch bitte als unendliche Summe, das tut ja den Augen weh. :-) Dann siehst du übrigens auch besser, wie man den Konvergenzradius erhält.

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13:28 Uhr, 12.07.2011

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k + 1)!} * {(- 1)}^{k}$

Darf man da überhaupt die potenzreihendarstellung verwenden? heißt ja taylor und mac laurin reihe ?

$R = \lim_{k - > \infty} | \frac{x^{2 k} * {(- 1)}^{k} * (2 (k +) + 1)! * {(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)! * x^{2 (k + 1)} * {(- 1)}^{k + 1}} | = \lim_{k - > \infty} | \frac{x^{2 k} * {(- 1)}^{k} * (2 k + 3) * (2 k + 2) * (2 k + 1)! * {(- 1)}^{k}}{(2 k + 1)! * x^{2 k} * x^{2} * {(- 1)}^{k + 1}} | = \lim_{k - > \infty} | \frac{(2 k + 3) * (2 k + 2)}{x^{2}} |$

so jetzt weiß ich nicht weiter weil unten ein x^2 steth?^^

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13:28 Uhr, 12.07.2011

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{2 k}}{(2 k + 1)!} * {(- 1)}^{k}$

Darf man da überhaupt die potenzreihendarstellung verwenden? heißt ja taylor und mac laurin reihe ?

so jetzt weiß ich nicht weiter weil unten ein x^2 steth?^^

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19:47 Uhr, 12.07.2011

Eine Reihe ist eine Reihe, ob sie Taylor-, MacLaurin- oder Potenzreihe heißt. ;-)

Wie kommst du denn auf deine Formel für R? Es sollte eigentlich für eine Reihe der Form

\sum_{k} a_{k}

ungefähr so aussehen:

lim_{k \to \infty} \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} < 1

Jetzt musst du schauen, was das im konkreten Fall für

x

impliziert.

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19:55 Uhr, 12.07.2011

also in meinem skirpt steht für konvergenzradius: $R = \lim_{n - > \infty} | \frac{a k}{a k + 1} |$

und di obere gleichung von der potenzreihe der sinx/x hab ich dann in der gleichung eingesetzt und ausgerechnet...

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20:40 Uhr, 12.07.2011

Ich glaube, die Formel gilt nur für Reihen, in denen alle Potenzen von x vorkommen, hier kommen nur die geraden Potenzen vor. Aber auch wenn ich mich irren sollte und die Formel auch hier gilt, ist es doch nicht falsch, sich klar zu machen, wo die Formel eigentlich herkommt. ;-)

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20:46 Uhr, 12.07.2011

Ja die formel was du geschrieben hast im vorletzten post ist die formel für das quotientenkriterium wenn das ergebnis kleiner 1 ist ist die reihe konvergent :)

versteh jetzt aber nicht was jetzt am konvergenzradius falsch ist? berechne ich den konvradius ganz normal mit dem quotientenkriterium?

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18:59 Uhr, 13.07.2011

Hat hier jemand nun einen lösungsweg steh einfach an und komm nicht weiter bei diesem beispiel? wär wirklich nett und hilfreich :)

lg daniel

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21:25 Uhr, 13.07.2011

1 > lim_{k \to \infty} ∣ \frac{a_{k + 1}}{a_{k}} ∣ = lim_{k \to \infty} ∣ \frac{(- 1)^{k + 1} * x^{2 (k + 1)}}{(2 (k + 1) + 1)!} * \frac{(2 k + 1)!}{(- 1)^{k} * x^{2 k}} ∣ = lim_{k \to \infty} ∣ - \frac{x^{2}}{(2 k + 2) (2 k + 3)} ∣ = \frac{x^{2}}{lim_{k \to \infty} (2 k + 2) (2 k + 3)}

\Rightarrow x < \sqrt{lim_{k \to \infty} (2 k + 2) (2 k + 3)} = \infty

\Rightarrow ρ = \infty

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