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Reihe mit Binomialkoeffizient

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Binomialkoeffizient, Folgen und Reihen, reih

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18:07 Uhr, 02.11.2015

Hallo, ich muss eine Reihe mit Binomialkeoffizienten lösen. Jedoch weiß ich absolut nicht, wie ich damit umgehen muss. Vielen Dank für eure Hilfe! Die Formel findet ihr im Anhang.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

michaL aktiv_icon

18:14 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

kennst du den binomischen Lehrsatz

(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{k}{n}) a^{k} b^{n - k}

?

Den könnte man gut anwenden, allerdings von rechts nach links. Zudem musst du die rechte Seite vorher noch ein bisschen trimmen!

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:15 Uhr, 02.11.2015

Ja, den kenn ich und wollte Ihn auch anwenden, jedoch kann ich die Rechte Seite nicht umformen, sodass ich ihn anwenden kann.

michaL aktiv_icon

18:18 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

> jedoch kann ich die Rechte Seite nicht umformen, sodass ich ihn anwenden kann.

Was fehlt bzw. ist zuviel bzw. passt denn nicht?

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:20 Uhr, 02.11.2015

Ich hab absolut keine Idee, bzw. keinen Rechenweg, wie ich diese rechte Seite so umformen kann, da ich ja kein

b^{n} - k

habe und auch kein

n

über

k

habe, sondern ein

n

über

k - 1

habe. Daher weiß ich nicht, wie ich umformen soll.

michaL aktiv_icon

18:24 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

> da ich ja kein

b^{n - k}

habe

Das ist das einfachste Problem. Das ist da. Denk mal an eine Basis, deren Potenzierung keine sichtbare(!) Veränderung hervorruft.

> und auch kein n über k habe, sondern ein n über k−1 habe.

Das ist tatsächlich aufwändiger, allerdings regelst du das über eine Indexverschiebung. Damit korrigierst du auch, dass die Summe nicht bei

k = 0

beginnt.

Aber erstmal über das obere nachdenken!

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:27 Uhr, 02.11.2015

OK also wird mein

b^{n - k}

1^{n - k}

? Aber diese Indexverschiebung kann ich nicht. Könnten Sie das vielleicht vorrechnen?

ledum aktiv_icon

18:28 Uhr, 02.11.2015

Hallo
du kannst einfach von 0 an rechnen und den Summanden mit

k = 0

abziehen.
Gruß ledum

nickname444 aktiv_icon

18:31 Uhr, 02.11.2015

Das verstehe ich leider nicht, könnten Sie mir einen Rechenweg zeigen?

michaL aktiv_icon

18:31 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

> OK also wird mein

b^{n - k}

1^{n - k}

?

Korrekt. Gut so.

> Aber diese Indexverschiebung kann ich nicht. Könnten Sie das vielleicht vorrechnen?

Könnte ich, bin aber der Meinung, dass du das selber schaffen kannst.
Siehe
de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung

Und: Siezen ist im Internet eher unüblich.

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:38 Uhr, 02.11.2015

OK. Ich habe jetzt

E

von

k = 0

bis

n - 1

von

(3^{k - 1} \cdot 1^{n - k - 1} \cdot (n

über

k - 1)

Weiter weiß ich nicht und ich glaube nicht, dass das richtig ist. Ein Lösungsweg würde mir sehr helfen.

michaL aktiv_icon

18:41 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

sieht schon ganz gut aus, ist aber noch nicht völlig richtig.

Führe doch einfach eine neue Variable ein.

k

"geht" von 1 bis

n

, setze also

l := k - 1

. Diese "läuft" also von ? bis ?.

Und immer daran denken, alle(!) Vorkommen von

k

zu ersetzen.

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:46 Uhr, 02.11.2015

Ist es

E

von

k = 0

bis

n

von

3^{k + 1} \cdot 1^{k + 1} \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

michaL aktiv_icon

18:49 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

fast korrekt.
Bedenke, dass du nur

n

Summanden hattest (VOR der Verschiebung, nämlich von 1 bis

n

) und es DURCH die Verschiebung nicht mehr aber auch nicht weniger werden!

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:52 Uhr, 02.11.2015

Tut mir leid, ich weiß absolut nicht mehr weiter. Könnten Sie mir kurz die Lösung zeigen, damit ich mich daran orientieren kann. Also nicht die Lösung sondern die Umformung sodass ich die Lösung anwenden kann.

michaL aktiv_icon

19:01 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

es ist

\sum_{k = 1}^{n} 3^{k} (\binom{n}{k - 1})

umzuwandeln.

Halten wir erst einmal fest, dass es sich um

n

Summanden handelt, nämlich von (k=) 1 bis

n

.

Nun setze

l := k - 1

(*)

Konkret ergibt sich, wenn man nur (*) beachtet:

\sum_{l = 1 - 1 = 0}^{n} 3^{l + 1} (\binom{n}{l})

Das sind nun aber

n + 1

Summanden, nämlich von (

l =

) 0 bis

n

.
Da wir ja die Indizes verschieben (um 1 nach unten), muss die Summe also so lauten:

\sum_{l = 0}^{n - 1} 3^{l + 1} (\binom{n}{l})

Bis dahin alles klar?

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

19:05 Uhr, 02.11.2015

Ja das habe ich verstanden mit dem

l

ersetzen. Aber das kann man noch nicht in die Formel

{(a + b)}^{n}

übersetzen, könnten sie die weiteren Schritte noch erläutern?

ledum aktiv_icon

19:50 Uhr, 02.11.2015

was ist, wenn du überall noch eine 1 mit dem richtigen Exponenten zufügst

a = 3, b = 1

und wenn es dich stört 3 aus der Summe ausklammern.
Gruß ledum

nickname444 aktiv_icon

19:56 Uhr, 02.11.2015

Nein,

{(3 + 1)}^{n}

ist falsch, wenn ich für

n z . B

. 5 wähle kommt bei der Summe

7533

raus und bei

{(3 + 1)}^{n}

kommt eine kleinere Zahl raus. Also kann

{(3 + 1)}^{n}

nicht stimmen. Hast du denn die Lösung?

michaL aktiv_icon

22:10 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

du hast recht. Wir können (immer) noch nicht den binomischen Lehrsatz anwenden.
Dazu passt der Term (soweit er von mir umgeformt wurde) noch nicht ins Schema.

Aber das hat hier ja auch keiner behauptet.

Bleibt immer noch die Frage, ob
>> Bis dahin alles klar?
ist?

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

22:12 Uhr, 02.11.2015

Ja, bis dahin ist mir alles klar, aber könntest du mir die weitere Rechnung ausführen un darlegen? Vielen Dank schonmal!

michaL aktiv_icon

22:23 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

können tuich. Wie gesagt, ich bin ein Fan des "Selber Machens". Du wirst dich da schon reinhängen müssen.
Immerhin bist DU Student und studere bedeutet SICH bemühen, nicht JEMANDEN bemühen.

Wir waren bei

\sum_{l = 0}^{n - 1} 3^{l + 1} (\binom{n}{l})

angekommen.

Leider passen da noch ein paar Dinge in diesem Term nicht so zusammen, dass man den binomischen Lehrsatz anwenden könnte. Sicher, dein

b^{n - k}

fehlt noch, aber das läuft uns nicht weg.
Ich würde dir raten, dir den Lehrsatz nochmal anzuschauen und herauszufinden, was da noch nicht zueinander passt.
Und dafür müssen wir dann Lösungen finden.

Mfg Michael

PS: de.wikipedia.org/wiki/Binomischer_Lehrsatz#Binomischer_Lehrsatz_f.C3.BCr_nat.C3.BCrliche_Exponenten

nickname444 aktiv_icon

22:29 Uhr, 02.11.2015

Ja aus dem

n + k

oben auf dem

e

muss ja nur ein

n

werden also von

k

bzw.

l

bis

n

und das

x^{n} - k

ist noch falsch und nicht vorhanden.

michaL aktiv_icon

22:33 Uhr, 02.11.2015

Hallo,

verstehe nicht so ganz, was du meinst. Das fehlende "

b^{n - k}

" ist klar und sollte erst gegen Ende betrachtet werden. (Vertrau mir!)
Das andere hab ich nicht verstanden.

Mfg Michael

gN8

nickname444 aktiv_icon

22:34 Uhr, 02.11.2015

Der bereich muss von

l = 0

bis

n

gehen

nickname444 aktiv_icon

16:02 Uhr, 03.11.2015

Also folgendes habe ich schon und auch verstanden.

s

.Bild im Anhang.

michaL aktiv_icon

18:03 Uhr, 03.11.2015

Hallo,

bis dahin ist es ja auch ok.
Mein Tipp: Ziehe den binomischen Lehrsatz heran und vergleiche!

Tippe ihn villeicht einfach hier ein, dann stelle ich dir das gegenüber.

Es hilft nicht, du musst es selbst leisten (es sei denn, einer der notorischen Vorsager erbarmt sich).

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

18:07 Uhr, 03.11.2015

Binomischer Lehrsatz:

E k = 0

bis

n

von

(n

über

k) \cdot x^{n} - k \cdot y^{k}

Ich kenne diesen Lehrsatz. Auch auswendig mittlerweile schon. Ich kann diese beiden auch vergleichen und gegenüberstellen. Jedoch kann ich sie nicht umformen, sodass sie gleich aussehen.

michaL aktiv_icon

18:15 Uhr, 03.11.2015

Hallo,

ok, dein Term (bisher):

\sum_{k = 0}^{n - 1} 3^{k + 1} (\binom{n}{k})

Dagegen die eine Seite des bin. Lehrsatzes:

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

Was passt im obigen Term noch nicht ins Schema des Lehrsatzteils?

Mfg Michael

nickname444 aktiv_icon

20:32 Uhr, 03.11.2015

Ok, ich muss nur noch einen schritt haben. ich habe:

E

von

k = 0

bis

n - 1

von

3^{k} \cdot 3^{1} \cdot 1^{n} - k + 1 \cdot (n

über

k)

nun muss ich nur noch die

n - 1

oben am

e

zu einer

n

kriegen ohne

- 1

. Dann könnte ich den Term umformen.

Wie mach ich das?

michaL aktiv_icon

20:37 Uhr, 03.11.2015

Hallo,

addiere den "fehlenden" Term und subtrahiere ihn anschließend wieder.
Der addierte Summand fließt in die Summe, der subtrahierte bleibt separat für sich stehen.

Mfg Michael

PS: Gut! Weiter so!

nickname444 aktiv_icon

20:46 Uhr, 03.11.2015

Hallo, was soll ich mit was addieren bzw. subtrahieren? Könntest du mir den Term nennen, den ich addieren muss. Und zu was ich das addieren muss?

Christian- aktiv_icon

20:57 Uhr, 03.11.2015

Irgendwie irrt ihr euch empor..

Die damalige Zeit des Studierens kann man nicht mit der heutigen Zeit vergleichen.
Heute ist es um längen intensiver, und auch wegen der neuen Umstellung.

Vondaher ist es ratsam, einen kompletten Lösungsweg aufzuschreiben, und dann zu erklären, so hat nickname444 mehr davon, als sich stundenlang um sowas zu kümmern.

Zu sage

,,

Wie gesagt, ich bin ein Fan des "Selber Machens". Du wirst dich da schon reinhängen müssen.'' ist richtig, aber trifft erst zu, wenn derjnenige Lösung und Rechenschritte hat, damit er erst da nachdenken kann.

So ist es eine Irrung im Kreis, und führt zu Stress, Blödsinn, Zeitverlust und Frust.

Fortschritt= Keller mit Ratten

michaL aktiv_icon

21:19 Uhr, 03.11.2015

Hallo,

@nickname444: Du schriebst:
> Hallo, was soll ich mit was addieren bzw. subtrahieren?

Na, deine Summe geht ja nur bis

n - 1

, du brauchst sie aber bis

n

.
Also addiere dir den genau dafür notwendigen Term dazu.
Und damit du den Wertder Summe nicht änderst, zeihst du ihn halt gleich wieder ab.

@Christian-: Was lässt dich glauben, dass du recht hast? Meine Erfahrungen sprechen eindeutig eine andere Sprache.

Aber: Wenn du eine Lösung kennst, kannst du sie ihm von mir aus vorsagen. Wenn du meinst, er habe mehr davon...?!

Mfg Michael

EDIT: Typo

Christian- aktiv_icon

21:38 Uhr, 03.11.2015

Wenn ich das Thema bald durchrnehme, dann mit Sicherheit!

Mein Aussagen kann man leicht Herleiten. Frag einfach die Leute hier im Forum, die Schwierigkeiten haben. Frag sie, ist es besser, wenn sie gequält werden, oder wenn ihnen sofort mit Rechenschritten und Lösung geholfen wird. Bin gespannt, wie die statistische Auswertung ausfällt.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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