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Reihenglieder berechnen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

dxvxdfx aktiv_icon

20:55 Uhr, 06.05.2024

Hallo,

Ich soll für die Funktion

f (x) = \frac{1}{\sqrt{- x^{5} + 8}},

die Glieder

a_{15}

und

a_{17}

ihrer Potenzreihendarstellung berechnen an

x_{0} = 0

.
Nun stehe ich ein wenig auf dem Schlauch da für

a_{n} = \frac{{f (x)}^{(n)} (0)}{n!}

die 15te Ableitung ja viel zu aufwändig wäre zu berechnen und ich frage mich ob es einen einfacheren Weg gibt.

Vielen Dank schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

21:20 Uhr, 06.05.2024

Es ist gemäß Binomischer Reihe

f (x) = {(8 - x^{5})}^{- \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot {(1 - \frac{x^{5}}{8})}^{- \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ k \end{array}) \cdot {(- \frac{x^{5}}{8})}^{k}

Damit ist

a_{17} = 0

und

a_{15} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot (\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 3 \end{array}) \cdot {(- \frac{1}{8})}^{3}

, das kann man natürlich noch vereinfachen...

michaL aktiv_icon

21:25 Uhr, 06.05.2024

Hallo,

es stellt sich die Frage, ob ihr z.b. bei

f (x) = \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2 \cdot 4} x^{2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 6} x^{3} \mp \dots

oder gar bei

g (x) = 2 f ʹ (- x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} = 1 + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} + \frac{5}{16} x^{3} + \frac{35}{128} x^{4} + \frac{63}{256} x^{5} + \dots

anfangen könnt.

Deine Funktion lässt sich

g

relativ einfach ableiten:

\frac{1}{\sqrt{8 - x^{5}}} = \frac{1}{\sqrt{8 (1 - \frac{x^{5}}{8})}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{\sqrt[5]{8}})}^{5}}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \cdot g (\frac{x}{\sqrt[5]{8}})

.

Damit kommt man um die Ableiterei herum.

Mfg Michael

dxvxdfx aktiv_icon

22:17 Uhr, 06.05.2024

Vielen Dank, aber ich verstehe nicht wieso bei

a_{15}

für

k

eine 3 anstatt

15

steht und wie soll ich mit dem

- \frac{1}{2}

umgehen? Das ist ja negativ und nicht ganz.

HAL9000

22:41 Uhr, 06.05.2024

Ok, dann ganz von vorn:

1) Die Binomische Reihe lautet

{(1 + t)}^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} α \\ k \end{array}) \cdot t^{k}

,. konvergent zumindest für alle

∣ t ∣ < 1

und gültig für alle reellen Exponenten

α

.

Dabei kommt die allgemeinere Definition des Binomialkoeffizienten zur Anwendung

(\begin{array}{c} α \\ k \end{array}) := \frac{1}{k!} \cdot \prod_{j = 0}^{k - 1} (α - j) = \frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}

,

hier speziell für

α = - \frac{1}{2}

. Und die Binomische Reihe wird für Argument

t = - \frac{x^{5}}{8}

genutzt.

2) Summand

k = 3

wird betrachtet, weil genau in dem die Potenz

x^{5 k} = x^{15}

auftaucht!!!

dxvxdfx aktiv_icon

23:30 Uhr, 06.05.2024

Dankeschön habs jetzt

HAL9000

08:29 Uhr, 07.05.2024

In bestimmten Fällen

α

kann man den Binomialkoeffizienten auch mit "normalen" Binomialkoeffizienten bzw. Fakultäten umschreiben, so auch hier: Es ist

(\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ k \end{array}) = \frac{1}{k!} (- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) \dots (- \frac{2 k - 1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{k} k!} \cdot (2 k - 1)!! = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{k} k! \cdot (2 k)!!} \cdot (2 k)! = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{2 k} k!^{2}} \cdot (2 k)! = \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{2 k}} \cdot (\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array})

.

Was insgesamt bedeutet (mit Konvergenzradius 1)

\frac{1}{\sqrt{1 + t}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2^{2 k}} (\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}) t^{k}

bzw.

\frac{1}{\sqrt{1 - t}} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{2 k}} (\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}) t^{k}

.

Damit kann das obige Ergebnis umgeschrieben werden zu dem etwas freundlicher wirkenden

\frac{1}{\sqrt{8 - x^{5}}} = \sqrt{2} \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{5 k + 2}} (\begin{array}{c} 2 k \\ k \end{array}) x^{5 k} = \sqrt{2} \cdot [\frac{1}{4} + \frac{1}{64} x^{5} + \frac{3}{2048} x^{10} + \frac{5}{32768} x^{15}] + O (x^{20})

mit Konvergenzradius

R = 2^{\frac{3}{5}}

1585466

1585456

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