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Reihensumme berechnen

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

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23:38 Uhr, 22.11.2016

Hallo,

kann mir jemand bei der Aufgabe helfen.

\sum_{n = 0}^{\infty} n * (\frac{1}{3})^{n}

Ich komm bei der irgendwie nicht voran.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Bummerang

23:57 Uhr, 22.11.2016

Hallo,

betrachte die Funktion

f (x) = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

. Die Ableitung

f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n = 1}^{\infty} n \cdot x^{n - 1} = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot x^{n - 1}

. Jetzt formen wir

f (x)

unter Verwendung der Formel für die geometrische Reihe um, was für

| x | <

1möglich ist. Da ergibt sich:

f (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - x}

Von dieser Funktion bilden wir die klassische Ableitung:

f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- 1) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} \cdot (- 1) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

Es gilt an der Stelle

x = \frac{1}{3},

dass

| x | < 1

und

f' (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} n \cdot {(\frac{1}{3})}^{n}

und gleichzeitig

f' (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{3})}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}

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