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Spiritusmischung Lineares Gleichungssystem

Schüler

Tags: Algebra, Lineares Gleichungssystem, Textaufgabe

Eleonora

12:11 Uhr, 15.04.2024

Hallo, ich versuche folgende Textaufgabe mit einem linearen Gleichungssystem zu lösen:

Man mischt eine 50%ige Spiritussorte mit einer 90%igen und erhält eine 80%ige. Würde man von der ersten Sorte

2 l

weniger nehmen, von der zweiten aber

2 l

mehr, so müsste man noch

1 l

Wasser beimischen, um wieder eine 80%ige zu erhalten. Wie viele Liter hat man von jeder Sorte genommen?

Bisher habe ich es mit dem Additionsverfahren gemacht (siehe Foto), jedoch ergibt es bei mir

1 = 0,

was heissen würde, dass es keine Lösung gibt. Deshalb ist es wohl falsch. Im Internet fand ich nur Aufgaben mit Liter-Angaben, deswegen frage ich jetzt hier mal. Vielen Dank im Voraus für Antworten.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

Respon

12:36 Uhr, 15.04.2024

Die Menge des "Reinstoffes" ( hier Spiritus ) vor dem Mischen und nach dem Mischen muss gleich bleiben. Daraus ergeben sich die Gleichungen.
Allerdings kann dann deine zweite Gleichung nicht stimmen.

pleindespoir aktiv_icon

12:57 Uhr, 15.04.2024

Ich kann an dem Ansatz der Fragestellerin keinen Fehler entdecken - vielleicht ist die Aufgabenstellung nicht korrekt ?

Respon

13:01 Uhr, 15.04.2024

Zweite Gleichung links: Die " 1 " würde ja

1 l

reinen Spiritus bedeuten, was nicht stimmt.

HAL9000

13:15 Uhr, 15.04.2024

Richtig, in Gleichung II muss +0 statt +1 stehen, womit die Gleichung redundant wird!!!

Eine eindeutige Lösung des GLS gibt es somit nicht, sondern unendlich viele mit

y = 3 x

.
Aus Bedingung II kann man somit lediglich Information

x \geq 2

entnehmen. ;-)

KartoffelKäfer aktiv_icon

13:53 Uhr, 15.04.2024

\frac{\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y}{x + y} = \frac{4}{5},

\frac{\frac{1}{2} (x - 2) + \frac{9}{10} (y + 2)}{x + y + 1} = \frac{4}{5}

\Leftrightarrow

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} (x + y),

\frac{1}{2} (x - 2) + \frac{9}{10} (y + 2) = \frac{4}{5} (x + y + 1)

\Leftrightarrow

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} (x + y),

\frac{1}{2} x - 1 + \frac{9}{10} y + \frac{9}{5} = \frac{4}{5} (x + y) + \frac{4}{5}

\Leftrightarrow

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} (x + y),

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} (x + y)

\Leftrightarrow

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} (x + y)

\Leftrightarrow

\frac{1}{2} x + \frac{9}{10} y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} y

\Leftrightarrow

\frac{1}{10} y = \frac{3}{10} x

\Leftrightarrow

y = 3 x

\Rightarrow L = {x, y \in R : x \geq 2, y = 3 x}

Mathe45

15:06 Uhr, 15.04.2024

Einfacher und zielführender:
I.

x \cdot 0,5 + y \cdot 0,9 = (x + y) \cdot 0,8

II.

(x - 2) \cdot 0,5 + (y + 2) \cdot 0,9 = (x + y + 1) \cdot 0,8

x \cdot 0,5 - 1 + y \cdot 0,9 + 1,8 = (x + y) \cdot 0,8 + 0,8

x \cdot 0,5 + y \cdot 0,9 = (x + y) \cdot 0,8

Es genügt daher, eine Gleichung

z . B

. nach

y

aufzulösen

x \cdot 0,5 + y \cdot 0,9 = (x + y) \cdot 0,8

0,3 \cdot x - 0,^{\cdot} y = 0

y = 3 \cdot x

Eleonora

15:17 Uhr, 15.04.2024

Vielen Dank für Eure Antworten.

An sich habe ich jetzt verstanden, dass links die 1 zu viel war und wie es richtig gerechnet werden muss. Einzig habe ich noch nicht begriffen, warum links das Wasser nicht stehen kann/darf? Weil ich schreibe doch links was ich hineintue, oder nicht?

HAL9000

15:58 Uhr, 15.04.2024

Da steht nicht das Wasser, sondern das Alkohol-Volumen, und das ist für den Wasser-Anteil

1 l \cdot 0 % = 0

. Das Wasser findet nur Berücksichtigung beim gesamten Flüssigkeits-Volumen

x - 2 + y + 2 + 1 = x + y + 1

auf der rechten Seite.

Eleonora

17:15 Uhr, 15.04.2024

Ah super, jetzt macht alles Sinn. Vielen Dank für die Antworten.

Eleonora

17:15 Uhr, 15.04.2024

Ah super, jetzt macht alles Sinn. Vielen Dank für die Antworten.

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